习题 23, § 6

令$G$为实李群，$c = (U, \phi, E)$为以单位元素$e$为中心的流形$G$上的图表。如果$x \in U$，令$|x|_c$表示Banach空间$E$中$\phi(x)$的范数。

(a) 证明，如果$c' = (U', \phi', E')$是以$e$为中心的另一个图表，则存在常数$\lambda > 0$和$\mu > 0$使得

对于所有 $x \in G$ 都足够接近 $e$。

(b) 证明，对于所有$\rho > 0$，存在$U$中包含$e$的邻域$U_\rho$，使得对于$U_\rho$、$(x, y) \in U_\rho$中的$x, y$和

(c) 假设 $G$ 是有限维的。令 $\Gamma$ 为 $G$ 的离散子群。应用(b)与$0 < \rho < 1$和选择$U_\rho$相对紧凑。 集合 $U_\rho \cap \Gamma$ 是有限的。让

是它的元素，编号为 证明，如果$i \leq m$和$j \leq m$，换位子$(\gamma_i, \gamma_j)$等于$\gamma_k$和$k < \inf(i, j)$之一。推出$U_\rho \cap \Gamma$生成的子群对于类$\leq m$是幂零的。

由上推导出$e$的邻域$V$的存在性，使得对于$G$的每个离散子群$\Gamma$，都存在$G$包含于$V \cap \Gamma$的幂零积分子群$N$。

(d) 假设 $G$ 是连通且有限维的，且离散子群 $D_n$ 的包含递增序列，其并在 $G$ 中稠密。那么$G$是幂零的。 （使用（c），证明存在一个中心单参数子群$H$，它在点处满足足够大$n$与$e$不同的$D_n$。根据$\dim G$上的归纳论证，根据是否存在来区分两种情况$H$ 是封闭的或相对紧凑的 (习题 21 (a))。）