习题 4, § 7

令$n \in \mathbf{N}^*$、$p$为矩阵属于至$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$的素数数和$G$集合，如果$p \neq 2$，则所有元素全等于1模$p$ （如果 $p = 2$ 则模 4）。那么$G$是$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$的开子群。

(a) 证明 $G$ 没有元素的有限阶 $\neq 1$。

(b) 证明如果$p \neq 2$，则$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$的每个有限子群同构于$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/p\mathbf{Z})$的子群（如果$p = 2$，则分别与$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}/4\mathbf{Z})$）。