习题 5, § 7

(a) 设$\Gamma$是$G = \mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$的紧子群。证明$\Gamma$存在共轭，它包含在$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$中。 （如果$T$是$\mathbf{Q}_p^n$相对于$\mathbf{Z}_p$的格子（交换代数，章VII, § 4，定义1），证明$\Gamma$中$T$的稳定子在$\Gamma$开，因此有限指标和$\sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma T$的格子是在$\Gamma$下稳定的。）

(b) 推出$G_f$是$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$的共轭中的并。

(c) 推出$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q}_p)$的每个有限子群$\Phi$都有$a_n(p)$的阶除子，其中$a_n(p)$定义为

（使用（a），可以假设$\Phi \subset \mathbf{GL}(n, \mathbf{Z}_p)$。然后使用习题 4。）

(d) 证明$\mathbf{SL}(n, \mathbf{Q}_p)$的每个有限子群都有$s_n(p)$的阶除子，其中$s_n(p) = \frac{a_n(p)}{p-1}$代表$p \neq 2$和$s_n(2) = \frac{a_n(2)}{2}$。