习题 6, § 7

在这个习题中，$l$表示质数数$\neq 2$。如果$a$是整数$\neq 0$，则让$v_l(a)$表示$a$的$l$-adic估值，即最大的整数$e$使得$a \equiv 0 \pmod{l^e}$。

(a) 设$m$为整数$\geq 1$。我们写

证明，如果 $x$ 是整数与 $l$ 素的，那么 如果循环群$(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$中$x$的像是这个群的生成元，则存在等式。

(b) 设$n$为整数$\geq 1$。我们写

表明

其中符号$[\alpha]$表示实数$\alpha$的积分部分。证明，如果 $x$ 是整数与 $l$ 素的，那么

如果$(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$中$x$的像是这个群的生成元，则有等式。

(c) 在习题 5 (c)的记号中，证明$l^{r(l, n)}$是$l$的最大的幂，其中除所有$a_n(p)$，对于$p$质数$\neq l$（或对于所有足够大 $p$，等于）。 （使用（b）应用于$x = p$；然后选择$p$，使得$(\mathbf{Z}/l^2\mathbf{Z})^*$中的像是这个群的生成元，这可以通过算术级数定理实现。\footnote{对于这个证明定理，参见例 A. Selberg，*Ann. of Math.*，50 (1949)，第 297–304 页。})

(d) 令$\Gamma$为$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$的有限子群，令$l^e$为$l$的最大的幂除以$\Gamma$的阶。证明$e \leq r(l, n)$。 （用习题 5证明$l^e$除所有$a_n(p)$，然后应用上面的（c）。）

(e) 相反，证明存在$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$的有限$l$子群$\Gamma_{l, n}$，其阶为$l^{r(l, n)}$。 （约化它的情况是$n$是形式$l^a(l-1)$，与$a \geq 0$。将$\mathbf{Q}^n$分解为$l^a$副本$\mathbf{Q}^{l-1}$的和，并使用这个分解给出运算对称群$S_{la}$的半直接乘积$H_{l, n}$和群$(\mathbf{Z}/l\mathbf{Z})^{la}$的$\mathbf{Q}^n$。将$\Gamma_{l, n}$视为$H_{l, n}$的Sylow$l$群。）

证明，如果 $n$ 是偶数，$\Gamma_{l, n}$ 包含在辛群 $\mathbf{Sp}(n, \mathbf{Z})$ 的共轭中。

(f) 令$\Gamma$为$\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$的有限子群，它是$l$群。证明$\Gamma$是$\Gamma_{l, n}$的共轭到子群。 （首先使用合适的约简模 $p$ 证明，$\Gamma$ 的约简是 $\Gamma_{l, n}$ 共轭约简的有限子群；然后在 $\mathbf{Q}^n$ 上使用 $\Gamma$ 的表示的特征标。） 阶 $l^{r(l, n)}$ $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Q})$ 子群为共轭至 $\Gamma_{l, n}$