我们保留 Exerc 的记号。 16 和 21。
a) 设t∈T和w∈W。证明房间 C 和 w(C) 由壁 Lt 隔开当且仅当 l(tw)<l(w)（使用由一半 A+(t) 确定的折叠）。
b) 设 w0∈W。证明以下条件是等价的：
l(ww0)=l(w0)−l(w)for all w∈W;(i) l(tw0)<l(w0)for all t∈T;(ii) 每当
t∈T时，室
C和
w0(C)都被墙
Lt隔开 (iii)
（使用练习 16 h）证明 (iii) ⟹ (i)。） 证明这样的元素 w0 是唯一的，并且当且仅当 W 是有限的时才存在。那么它就是最大的长度 W 的元素，其特征为
l(sw0)<l(w0)for all s∈S.(iv) 此外，
w02=1,w0Sw0=S和
l(w0)=Card(T)。
(c) 假设 W 是有限的。证明，对于任何室C0，都存在一个唯一的室−C0，使得C0∪(−C0)不包含在A的任何一半中。证明存在A的唯一对合自同构φ（不一定允许φ(C0)=−C0对于任何房间C0以及φ(L)=L对于A的任何墙L。我们将φ(a)=−a表示a∈A。如果F是一个面，则−F=φ(F)将被称为与F相反。
d) 令C0为A和F划分与C0的房间。证明C0∪(−F)的凸包是A的一半，由作为F支撑的壁L和包含C0确定。