Bourbaki

习题 26, § 1

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李群与李代数, IV

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 (W,S)(W, S) 为 Coxeter 系统，其中 SS 有限。对于 WW 的任何子集 HH，用 H(t)H(t) 表示形式幂级数，其中整数系数定义为

H(t)=∑w∈Htl(w). H(t) = \sum_{w \in H} t^{l(w)}.

a) 假设Card(S)=2\mathrm{Card}(S) = 2。表明

W(t)=(1+t−tm−tm+1)/(1−t)if W is of finite order 2m, W(t) = (1 + t - t^m - t^{m+1})/(1 - t) \quad \text{if } W \text{ is of finite order } 2m,
W(t)=(1+t)/(1−t)if W is infinite. W(t) = (1 + t)/(1 - t) \quad \text{if } W \text{ is infinite}.

b) 假设 W 是有限的。令w0w_0为最大的长度的W的元素（练习22）并令m=l(w0)m = l(w_0)。表明

W(t)=tmW(t−1) W(t) = t^m W(t^{-1})
（使用练习 22）。

c) 设X为S的子集。用W的(X,∅)(X, \varnothing)约简元素的AXA_X集合（练习3）和X生成的W的WXW_X子群表示。我们知道（练习3）元素w∈Ww \in W属于到AXA_X当且仅当l(xw)=l(w)+1l(xw) = l(w) + 1对于所有x∈Xx \in X，每个元素w∈Ww \in W都可以唯一地写成形式w=uvw = uv与u∈WXu \in W_X和v∈AXv \in A_X，在这种情况下是l(w)=l(u)+l(v)l(w) = l(u) + l(v)。推导出公式

W(t)=WX(t)⋅AX(t). W(t) = W_X(t) \cdot A_X(t).

d) 保留上述记号，并用w∈AXw \in A_X中的BXB_X集合表示，使得l(sw)=l(w)−1l(sw) = l(w) - 1适用于所有s∈S−Xs \in S - X。表明

AX(t)=∑X⊂Y⊂SBY(t). A_X(t) = \sum_{X \subset Y \subset S} B_Y(t).
推断出
BX(t)=∑X⊂Y⊂Sε(Y−X)AY(t)withε(Z)=(−1)Card⁡(Z) B_X(t) = \sum_{X \subset Y \subset S} \varepsilon(Y - X) A_Y(t) \quad \text{with} \quad \varepsilon(Z) = (-1)^{\operatorname{Card}(Z)}
（使用练习 25）。

e) 假设 W 是有限的，且定义 m 和 w0w_0 如 b) 中所示。显示 B∅={w0}B_\varnothing = \{ w_0 \} 以及

tm=∑Y⊂Sε(Y)W(t)WY(t) t^m = \sum_{Y \subset S} \varepsilon(Y) \frac{W(t)}{W_Y(t)}
（使用c）和d））。

f) 假设W 是无限的。显示 B∅=∅B_\varnothing = \varnothing 以及

0=∑Y⊂Sε(Y)WY(t). 0 = \sum_{Y \subset S} \frac{\varepsilon(Y)}{W_Y(t)}.

g) 证明形式幂级数 W(t)W(t) 是 t 的有理函数（使用 f）并通过 Card(S) 上的归纳论证）。证明每当 t 为单位元的根时，这个有理数函数就会消失，并且 1/W(∞)1/W(\infty) 为整数。显示1W(t−1)∈Z[[t]]\frac{1}{W(t^{-1})} \in \mathbf{Z}[[t]]。

解答

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