习题 11, § 2

令 $(W, S)$ 为 Coxeter 系统，I 为编号为 S 的建筑物（$§ 1$，练习 20）。如果$\Gamma = (C_0, \ldots, C_n)$是单射画廊，$\Gamma$的*型*（由$s(\Gamma)$表示）是S的元素的序列$(s_1, \ldots, s_n)$，使得面板$C_{i-1} \cap C_i$是型$S - \{s_i\}$（对于$1 \leq i \leq n$）。如果锻炼的条件（WI 1）和（WI 2）。 10个满足，I称为$(W, S)$-*建筑物*。

令I为宽敞的$(W, S)$建筑（cf.锻炼10克）），并令G为I满足的允许自同构中的群以下条件：

(G₀) 给定三个不同的室 C、C' 和 C'' 包含同一个面板，存在元素 g ∈ G 使得 g(C) = C 和 g(C') = C''。

选择 I 的C 室并用 G 中C 的 B 稳定子表示。

a) 证明 G 传递作用于 I 的集合室。

b) 令C'和C''为两个室。证明 t(C, C') = t(C, C'') 当且仅当存在 b ∈ B 使得 C'' = b(C') (if t(C, C') = t(C, C'') = w，考虑 w 的减少的分解 s 和最小画廊 Γ' (resp. Γ'')，其末端为 C 和 C' (resp. C'') 和型 s。使用 (G₀) 和 a)) 在 l(w) 上归纳。推论从W到$B\backslash G/B$存在双射 w ↦ B(w)。

c) 令 F 为型 S - {s} 的 C 的面。证明 G 中 F 的稳定子等于 B ∪ B(s)（如果 g(F) = F，则 t(C, g(C)) = 1 或 s）。证明 B ⊂ B(s)B(s)（使用 (G₀)）。

d) 证明 B 是 G 的 Tits 子群，并且 (G, B) 的 Coxeter 系统与 (W, S) 自然同构。 （令 w ∈ W 且 s ∈ S 满足 l_S(sw) = l_S(w) + 1。令 g ∈ B(w) 且 u ∈ B(s)；令 s = (s_1, ..., s_n) 为 w 的约化分解，(C = C_0, C_1, ..., C_n = g(C)) 型 s 和选择元素 s_i ∈ B(s_i)；通过使用 (G₀) 表明存在元素 b_i ∈ B 使得 C_i = b_1 s_1 ... b_i s_i(C)。 C'_i = u(C_{i-1}) 并显示图库 (C, u(C), u(C_1), ..., u(C_n)) 为型 (s, s)，因此推断 ug ∈ B(sw) 且 B(s)B(w) = B(sw) 如果。现在 l(sw) = l(w) - 1，将 w' = sw：则 B(s)B(w') = B(w) 因此

最后，由于 B ⊂ B(s)B(s)，我们还有 B(w') = B(sw) ⊂ B(s)B(w)。）

e) 表明存在从与 (G, B)（练习 10）相关的建筑物到 I 的唯一同构，与 G 的作用兼容，并将规范室 C_e 带到 C。