习题 17, § 2

我们保留Exerc的假设和记号。 15 和 16。 选择元素 $\varphi \in \mathscr{J}$ 将$A_0$（$§ 1$，练习16）的规范室$C$带到$I$的规范室$C_e$，并且如练习中所示。 15 $d$)，用群$G$中公寓$\varphi(A_0) \in \mathscr{U}$的$N$稳定子表示。对于$A_0$的任何子集$D$，用$G$的$B_D$子群表示，保持$\varphi(D)$的所有点固定：我们有$B = B_C$和$B \cap N = B_{A_0}$。

a) 令$\alpha$为$A_0$包含于$C$的一半。 Show that $B_\alpha$ acts transitively on the semi-apartments of $I$ distinct from $\varphi(\alpha)$ whose wall is the wall $L$ of $\varphi(\alpha)$ (let $X$ be such a semi-apartment, $F$ a panel contained in $L$ and $C'$ a chamber of $\varphi(\alpha)$ containing $F$; show, by using Exerc. 16 $c$) and Exerc. 13 $a$), that there exists $g \in G$ such that $g(X \cup \varphi(\alpha)) = \varphi(A_0)$ and $g(C') = C'$; show that $g(F) = F$ and deduce from Exerc. 22 $c$ of $§ 1$ that $g \in B_\alpha$). 推断出 $B_L$ 在有墙 $L$ 的半公寓上具有双重传递作用，并且 $(B_L, B_\alpha, B_L \cap N)$ 是一个 Tits 系统，其 Weyl 群是阶 2（cf. 练习 7）。

b) 令$D_1$和$D_2$是$A_0$的两个凸子集，使得$C \subset D_1 \subset D_2$并且存在$A_0$的唯一一半$\alpha$以及$D_1 \subset \alpha$和$D_2 \not\subset \alpha$：则$D_1 = D_2 \cap \alpha$（$§ 1$，Exerc. 21 $c$）。显示$B_{D_1} = B_\alpha B_{D_2}$和$B_\alpha \cap B_{D_2} = B \cap N$（通过考虑最小的可能的长度的画廊，其中一个末端等于$C$，另一个末端等于包含点$a \in D_2 - D_1$）；表明$A_0$存在两个相邻的房间$C'_1$和$C'_2$，使得$C'_1 \subset D_1, C'_2 \subset D_2, C'_2 \not\subset D_1$和$C'_1 \cap C'_2$包含在$\alpha$的墙壁$L'$中。输入 $C_i = \varphi(C'_i), F = \varphi(C'_1 \cap C'_2)$ 和 $L = \varphi(L')$。证明 $D_1 \cup C'_2$ 的凸包等于 $D_2$。让$b \in B_{D_1}$：然后$b(C_1) = C_1$，所以$b(F) = F$和$b(C_2) \neq C_1$。推断$b(C_2) \cup L$的凸包是一个与$\varphi(\alpha)$不同且有墙$L$的半公寓$X$，并且存在$b' \in B_\alpha$使得

证明 $b'b(a) = a$ 对于所有 $a \in \varphi(D_1 \cup C'_2)$ 以及 $b'b \in B_{D_2}$。

c) 令$(\alpha_i)_{1 \leq i \leq q}$为$A_0$包含于$C$的一半，编号为映射

是严格递减（cf. $§ 1$，练习 17）。证明 $B = B_{\alpha_1} \ldots B_{\alpha_q}$ 并且如果 $b_i, b'_i \in B_{\alpha_i}$ 与 $b_1 \ldots b_q = b'_1 \ldots b'_q$，则 $b'_i \in b_i(B \cap N)$ 对应 $1 \leq i \leq q$。