习题 18, § 2

我们使用no. 2的假设和记号。令$V_i$为由$e_1, \ldots, e_i$生成的$k^n$的向量子空间（对于$1 \leq i \leq n-1$）。

a) 证明，对于 S 的任何子集 X，子群 G_X (no. 5) 由元素 $g \in G$ 组成，使得 $g(V_i) = V_i$ 对于所有 $i$ 使得 $s_i \notin X$。

b) 令 I 为与山雀系统 $(G, B, N, S)$ 相关的建筑物（练习 10 和 12）。 Show that the map $j$ that associates to the point $gG^{(i)}$ of I (where $G^{(i)}$ denotes the subgroup $G_{S-\{s_i\}}$ of G, in other words the stabilizer of $V_i$) the vector subspace $g(V_i)$ is a bijection from I to the set $\mathscr{B}$ of vector subspaces of $k^n$ that are $\neq \{0\}$ and $\neq k^n$, compatible with the action of G.

c) 如果E是向量空间，则E的标志是E的向量子空间的集合，完全按包含排序。当且仅当$\{j(a_1), \ldots, j(a_k)\}$是$k^n$的标志时，证明I属于的元素$a_1, \ldots, a_k$与I的同一面。

d) 证明 G 对 $k^n$ 的一维向量子空间的集合起作用。假设$n \geq 2$，并让$N_1$是元素生成的G的子群，交换$e_1$和$e_2$，并且固定另一个$e_i$。证明 $(G, G^{(1)}, N_1)$ 是一个山雀系统，其 Weyl 群是阶 2。

e) 假设$k$是可交换的。 集合

证明$N'/T'$可以与$\mathfrak{S}_n$识别，并且$(G', B', N', S)$是山雀系统（论证如no. 2）。