习题 12, § 4

假设G是单连通的；对于所有 $\alpha \in R(G,T)$，放入 $t_{\alpha}=$ exp($\frac{1}{2}K_{\alpha}$)。放入$N = N_G$(T)，并用$\varphi : N\rightarrow W$表示规范的映射。设 B 为 $R(G,T)$ 中的基； 选择元素 $n_{\alpha}$ $(N\cap S_{\alpha})$ -- $(T\cap S_{\alpha})$ 对于所有 $\alpha \in B$。

a) 证明$\varphi (n_{\alpha}) =s_{\alpha}$和$n^2_{\alpha}=t_{\alpha}$，从而$n^4_{\alpha}= 1$。

b) 令$\alpha$和$\beta$是B中两个不同的元素，并令$m_{\alpha \beta}$是W中$s_{\alpha}s_{\beta}$的阶。证明

$n_{\alpha}n_{\beta}=n_{\beta}n_{\alpha}$如果$m_{\alpha \beta}= 2$

$n_{\alpha}n_{\beta}n_{\alpha}=n_{\beta}n_{\alpha}n_{\beta}$如果$m_{\alpha \beta}= 3$

$(n_{\alpha}n_{\beta})^2= (n_{\beta}n_{\alpha})^2$如果$m_{\alpha \beta}= 4$

$(n_{\alpha}n_{\beta})^3= (n_{\beta}n_{\alpha})^3$如果$m_{\alpha \beta}= 6$

（如果对于例$m_{\alpha \beta}= 3$，则$(s_{\alpha}s_{\beta})s_{\alpha}(s_{\alpha}s_{\beta})^{-1}=s_{\beta}$和$s_{\alpha}s_{\beta}(\alpha ) =\beta$；通过注释$S_{\alpha}\cap S_{\beta}\cap T =\{e\}$来表明$n_{\alpha}n_{\beta}n_{\alpha}n^{-1}_{\beta}n^{-1}_{\alpha}n^{-1}_{\beta}$属于到$S_{\beta}$，以及结论）。

c) Deduce from b) that there exists a unique section $\nu : W\rightarrow N$ of $\varphi$ such that $\nu (s_{\alpha}) =n_{\alpha}$ and $\nu (ww') =\nu (w)\nu (w')$ if $l(ww') =l(w) +l(w')$ (where $l(w)$ denotes the length of $w$ with respect to the generating system $(s_{\alpha})_{\alpha\in B}$; cf. Chap. VI, §1, no. 5, Prop. 5). 输入$n_w=\nu (w)$。

d) 设$W^*$为$n_{\alpha}$生成的N中的子群；证明$W^*\cap T$是阶$\leq 2$的元素T由……组成的子群$T_2$并且W可以用$W^*/T_2$来识别。

e) 设$w\in W$使得$w^2= 1$；证明 $n^2_w=\prod_{\alpha\in R_w}t_{\alpha}$，其中 $R_w$ 是

正根$\alpha$的集合使得$w(\alpha )<0$（写出$w=s_{\alpha_1}. . . s_{\alpha_r}$，与$r=l(w)$和$\alpha_i\in B$；应用$c$） VI, §1, no. 6，科。提案 17 中的第 2 条）。 f) 假设 G 几乎是简单的。令 $c$ 为 W 中的 Coxeter 变换，$h$ 为 W 的 Coxeter 数（第 VI, §1, no. 11 章）。显示 $n^h_c=$ $\prod_{\alpha\in R_+}t_{\alpha}$（使用 $c$）$,e)$ 和 Exerc。第 2 章V, §6）。