习题 16, § 4

设 H 为 G 的连通闭子群，使得 $T\cap H$ 为 H 的最大环面 S。设 $\lambda \in R(H,S)$；用$R(G,T)$的根的$R(\lambda )$集合表示，其中限制对S等于$\lambda$。

a) 证明$R(\lambda )$不为空。

b) 设 $w\in W_H(S)$；表明存在$W_G(T)$的元素$\overline{w}$使得$R(w\lambda ) = \overline{w}R(\lambda )$（使用§2的练习4）。 c) 令$P(\lambda )$为$R(G,T)$的交，其中由$R(\lambda )$生成的X(T)的子群。证明存在 G 包含于 T 的闭子群 $G_{\lambda}$，使得 $P(\lambda ) = R(G_{\lambda},T)$。推导出反射$s_{\alpha}$与$\alpha \in P(\lambda )$的反射$s_{\lambda}\in W_H(S)$对乘积的S的限制。

d) 证明与$\lambda$相关的节点向量$K_{\lambda}\in L(S)$是线性组合，其中$K_{\alpha}$的$\alpha \in R(\lambda )$系数为整数。

e) 设 $B_H$ 为 $R(H,S)$ 的基。证明$R(\lambda )$包含在由$\mu\in B_H$的$R(\mu)$的并生成的X(T)的子群中（证明具有所述性质的$\lambda \in R(H,S)$的集合对于所有的$s_\mu$是稳定的） $\mu\in B_H$，并使用$c$)$)$。