习题 19, § 4

我们保留 Exerc 的记号。 16 至 18；假设子群 H 为主。给$X(T)\otimes \mathbf{R}$（或$X(S)\otimes \mathbf{R}$）在$W_G(T)$（或$W_H(S)$）下的标量乘积不变量。令$\lambda , \mu$等于$B_H$中的两个根。

a) 证明，如果 $\lambda$ 和 $\mu$ 正交，则集合 $R(\lambda )$ 和 $R(\mu)$ 正交。推断如果 G 几乎是简单的，那么 H 也是简单的。

b) 从现在开始假设$n(\lambda , \mu) =-1$。证明存在一个满射映射$u: R(\lambda )\rightarrow R(\mu)$，使得$\alpha \in R(\lambda ),u(\alpha )$是$R(\mu)$与$\alpha$链接（即不正交）的唯一根；我们有 $K_\mu=\sum_{\beta\in R(\mu)}K_{\beta}$ 和根

$R(\mu)$ 中是成对正交的（将$K_\mu$和$K_{\lambda}$写为$K_{\alpha}$的线性组合，然后写认同系数）。

c) 如果 $n(\mu, \lambda ) =-1$、映射 $u$ 是双射，并且 $R(\lambda )\cup R(\mu)$ 中链接的根的唯一对是 $\alpha \in R(\lambda )$ 的对 $(\alpha , u(\alpha ))$。

d) 假设$n(\mu, \lambda ) =-2$；让$\beta \in R(\mu)$。证明 $u^{-1}(\beta )$ 包含一个或两个元素；如果$u^{-1}(\beta ) =\{\alpha_1, \alpha_2\}$，根$\alpha_i(i= 1,2)$与$R(\lambda )$中的另一个根正交，并且与$\beta$具有相同的长度；如果$u^{-1}(\beta ) =\{\alpha \}$和$\|\alpha \|=\|\beta \|,\alpha$链接到唯一的根$\alpha '\in R(\lambda )$，其长度与$\alpha$相同，并且$\{\alpha , \alpha '\}$与$R(\lambda )$的余数正交；如果$u^{-1}(\beta ) =\{\alpha \}$和$\|\alpha \| \not=\|\beta \|,\alpha$与$R(\lambda )$中的另一个根正交。

e) 类似地研究案例$n(\mu, \lambda ) =-3$。