习题 2, § 4

取$G =\mathbf{S}\mathbf{O}(n,\mathbf{R})$，与$n\geq 3$；如果 $n$ 是奇数，则放入 $n= 2l+ 1$；如果 $n$ 是偶数，则放入 $n=$ $2l$。 代数 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$可以与$\mathfrak{o}(n,\mathbf{C})$识别；我们使用第 1 章的记号。 VIII, §13，没有。 2和4。 用$\mathbf{R}^n$的$(f_i)_{1\leq i\leq n}$典范基表示。 将 $e_j = \frac{1}{\sqrt{2}}(f_{2j-1}+if_{2j})$ 和 $e_{-j} = \frac{1}{\sqrt{2}}(f_{2j-1}-if_{2j})$ 替换为 $1\leq j\leq l$，如果 $n$ 为奇数，则将 $e_0 = i\sqrt{2}f_{2l+1}$ 替换；如果 $n$ 是偶数，选择 $\mathbf{C}^n$ 的维特基由 $e_1, . . . , e_l, e_{-l}, . . . , e_{-1}$ 给出（如果 $n$ 是奇数，则$e_1, . . . , e_l, e_0, e_{-l}, . . . , e_{-1}$）。

a) 设$H_i$为由$f_{2i-1}$和$f_{2i}(1\leq i\leq l)$生成的$\mathbf{R}^n$的子空间；表明元素 $g$ 的 G 由……组成的子群，使得 $g(H_i)\subset H_i$ 和 det($g|H_i$) $= 1$ 对于 $1\leq i\leq l$ 是 G 的最大环面 T，并且$L(T)_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$。 b) 认同 X(T)，其中子群等于 $\mathfrak{h}^*$ 通过 $\delta$。证明线性形式 $\varepsilon_i$ 属于到 X(T)；如果$t\in T$并且如果$t$到$H_j$的限制是通过角度$\theta_j$的旋转，则$\varepsilon_j(t) =e^{i\theta_j}$。 权$\varpi_1, . . . , \varpi_{l-2}$； $2\varpi_{l-1},2\varpi_l, \varpi_{l-1}\pm \varpi_l$ 属于至 X（T）。如果 $n$ 是奇数，则 $\varpi_{l-1}$ 属于到 X(T)。 c) 令 $\widetilde{G} =$ 自旋$(n,\mathbf{R})$ 并令 $\varphi : \widetilde{G}\rightarrow G$ 为规范覆盖。为了

$\theta \theta = (\theta_1, . . . , \theta_l)\in \mathbf{R}^l$，放入$t(\theta \theta ) =\prod_{i=1}^l$ (cos$\theta_i-f_{2i-1}f_{2i}$ sin $\theta_i$)$\in \widetilde{G}$。证明$\theta \theta \in \mathbf{R}^l$的$t(\theta \theta )$的集合是$\widetilde{G}$的最大环面$\widetilde{T}$，使得$\varphi ( \widetilde{T}) = T$。如果$X( \widetilde{T})$与$\mathfrak{h}^*$的子群一致，我们有$\varepsilon_j(t(\theta \theta )) =e^{2i\theta_j}$。

d) 证明权$\varpi_{l-1}$和$\varpi_l$属于到$X( \widetilde{T})$；推断 Spin$(n,\mathbf{R})$ 是单连通的（cf. §3，练习 5）。