习题 3, § 6

令$\mu$为加法群$\mathfrak{g}$的哈尔测度。

a) G 上存在唯一的 Haar 测度 $\mu_G$，且性质：如果 $\omega_G$ 和 $\omega_{\mathfrak{g}}$ 分别是 G 和 $\mathfrak{g}$ 上次数 $n$ 的不变微分形式，使得 $\omega_G(e) =\omega_{\mathfrak{g}}(0)$ 和 $|\omega_{\mathfrak{g}}|=\mu$，则$|\omega_G|=\mu_G$。 映射 $\mu \rightarrow \mu_G$ 是双射，从 $\mathfrak{g}$ 上哈尔测量的集合到 G 的类似集合。 b) 选择乘积 $(|)$ 在 $\mathfrak{g}$ 下不变的标量，以及在 $\mathfrak{t}$ 上进行 Haar 测度 $\tau$，使得 $\mu$（分别为 $\tau$ ）对应为勒贝格测度，当 $\mathfrak{g}$ 与 $\mathbf{R}^n$（分别为 $\mathfrak{t}$ 和 $\mathbf{R}^r$）通过正交法式确定时基。证明公式

c) 认同X(T)与希尔伯特空间$\mathfrak{t}^*$的子集通过映射$(2\pi i)^{-1}\delta ($§4, no. 2)，并将$P(x) =\prod_{\alpha\in R_+}\langle \alpha , x\rangle$代为$x\in \mathfrak{t}$。与记号

锻炼的。 1 和 2 表明

$l$

$\frac{\tau_T(T)}{\mu_G(G)}= (2\pi )^Nw(G)^{-1}(P|P) =\pi^N\prod(\alpha |\alpha )\prod m_i$！

$\alpha \in R_+i=1$ d) 记号的锻炼。 §3的9，令$\mathfrak{g}_{\mathbf{Z}}$为$(2\pi )^{-1}\Gamma (T)$和元素$u_{\alpha}, v_{\alpha}$为$\alpha \in R$生成的$\mathfrak{g}$的$\mathbf{Z}$-谎言子代数。证明等式

$\mu_G(G) =\mu(\mathfrak{g}/\mathfrak{g}_{\mathbf{Z}})2\prod^r_i\pi m^{N+}_i$！$^r$。

e) 假设 G 是单连通的。显示 $l=r$ 以及

$\mu_G(G) = 2^{l/2}\pi^{-N}f^{1/2}\prod_{\alpha\in R_+}(\alpha |\alpha )^{-1}\prod_{i=1}^l(\alpha_i|\alpha_i)^{-1/2}\prod_i(m_i$！）$^{-1}$，

其中$\{\alpha_1, . . . , \alpha_l\}$是R的基，$f$是R的连接指标。

f) 进一步假设 R 是不可约的，并且其所有根都具有相同的长度；取$\mathfrak{g}$上的标量乘积与杀戮形式相反。证明$\mu_G(G) = (2\pi )^{N+r}(2h)^{n/2}f^{1/2}\prod_i(m_i$！）$^{-1}$。