习题 3, § 5

令$K$为特征零的域，$K$上的有限维$l$的$V$向量空间，以及由伪反射生成的$GL(V)$的$G$子群。把$q = \mathrm{Card}(G)$；用$S$（或$L$）表示$V$的对称代数（或外部代数）。如果$x \in V$，则用$x$（或$x'$）表示其$S$（或$L$）中的典范像。

a) 设$E = S \otimes L$为$S$和$L$中的张量积。证明 $E$ 上存在唯一的推导 $d$，使得所有 $x \in V$ 都有 $dx = x'$ 和 $dx' = 0$。

b) 令$S^G$为$G$的对称不变量的代数，并令$P_1, \ldots, P_l$为$S^G$的齐次元素，使得$S^G = K[P_1, \ldots, P_l]$。对于 $[1, l]$ 和 $i_1 < \cdots < i_r$ 的每个子集 $I = \{i_1, \ldots, i_r\}$，将

证明$\omega_I$在$S$上是线性独立的，并且$E$的元素的属于到子代数$E^G$由……组成在$G$下不变。推断出，对于所有 $\omega \in E^G$，存在 $a, c_I \in S^G$，以及 $a \neq 0$，使得

c) 证明$S \otimes \bigwedge^l V$中包含的$E^G$的每个元素都是形式$c.dP_1 \ldots dP_l$，其中$c \in S^G$。 （应用提案 5。）

d) 显示$S^G$模块$E^G$的$\omega_I$形式基。 （b）中记号，关系$a \omega = \sum_I c_I \omega_I$两边乘以元素$\omega_J$，并应用c）；推出，如果$I$是$J$的补集，则$a$除$c_I$；因此$^9$事实是$\omega_I$生成$E^G$。）

e) 设 $S_n$（分别为 $L_m$）为次数 $n$（分别为 $m$）的 $S$（分别为 $L$）的齐次分量。放

利用d)，证明公式 其中$p_i = \deg(P_i)$。

(9) 详情请参阅L。所罗门，有限反射不变量群，*名古屋数学。杂志*，第 XXII (1963)，p. 57-64。

f) 如果$g \in G$，令$\mathrm{Tr}_{n,m}(g)$为$g$定义的$E_{n,m}$的自同构迹；把

表明 g) 设 $q = \mathrm{Card}(G)$。表明 即 （使用以下结果：如果$G$作用于有限维向量空间$E$，则$G$下的$E$不变量元素空间维数等于$\frac{1}{q} \sum_{g \in G} \mathrm{Tr}_E(g)$。） 这个公式可以换取$Y = 0$什么？ h) 对于任何整数$p \geq 0$，令$H_p$为元素$g \in G$中的集合，其中特征值为1且重数$p$。让$h_p = \mathrm{Card}(H_p)$。证明公式 （在g中的公式中），替换$Y$乘以$-1 + T(1 - X)$，然后将$X = 1$放入结果中。如果$g \in H_p$，则项$\mathrm{Tr}(X, Y)(g)$变为$T^p$。）