习题 1, 附录 2

令X为X上连续实值函数的局部连通拓扑空间、$\mathscr{C}(X)$空间以及$d$整数$\geq 0$。令 $F\in \mathscr{C}(X)[T]$ 为次数 $d$ 的一元多项式，系数为 $\mathscr{C}(X):$

认同 F 与函数放在 $\mathbf{R}\times X$ 上，通过放置

$F(t, x) =t^d+t^{d-1}f_1(x) +\cdots +f_d(x)$如果$t\in \mathbf{R}, x\in X$。

令 $\Delta \in \mathscr{C}(X)$ 为多项式 F 的判别式（代数，第 IV, §1, no. 10）。

如果U是X的开子集，则用$(t, x)$的$Z_U$集合表示，并且$t\in \mathbf{R}$和$x\in U$，使得$F(t, x) = 0$；这是 $\mathbf{R}\times U$ 的闭子集。

a) 证明投影 pr$_2: Z_U\rightarrow U$ 是正确的（一般拓扑，第I, §10 章）。

b) 假设 U 是连通的并且 $\Delta (x)\not= 0$ 对于所有$x\in U$。证明$Z_U\rightarrow U$是次数$\leq d$的U（一般拓扑，第XI）的覆盖，并且$\mathbf{R}\times U$-- $Z_U$的连通分量的数是$\leq d+ 1$。

c) 设$X'$为集合 / 点 / X，其中$\Delta$为$\not= 0$。假设$X'$在X中是稠密的。用 $X'$（分别为 $\mathbf{R}\times X$-- $Z_X$）的连通分量的 $\mathscr{A}$（分别为 $\mathscr{B}$）集合表示。表明

卡($\mathscr{B}$)$\leq (d+$ 1)卡($\mathscr{A}$)(使用$b$)$)$。

d) 假设X已连接，并且$d\geq 1$。表明

卡($\mathscr{B}$)$\leq 1 +d$卡($\mathscr{A}$)。