习题 4, § 11

令 $X$ 为至少两个点连接的空间。

a) 令$A$为$X$的连通子集，$B$子集与$\mathbf{C}A$的连通，在$\mathbf{C}A$中既开又闭。表明 $A \cup B$ 已连通。 （将§ 3中的习题5应用到$Y = A \cup B$和$Z = \mathbf{C}A$。）

b) 令$A$为$X$的连通子集，且$B$为集合$\mathbf{C}A$的分量。显示 $\mathbf{C}B$ 已连通 [使用 a)]。

c) 从b)推导出$X$存在两个相连的子集$M, N$，它们与$X$不同，因此$M \cup N = X$和$M \cap N = \varnothing$。