习题 6, § 2

集合 $X$ 上的拓扑被称为“准极大值”，如果它在拓扑的集合中是最大的，其中$X$ 没有孤立的点。

a) 证明拓扑$\mathfrak{T}$在$X$上的以下性质是等价的：$\alpha)$$\mathfrak{T}$是拟极大值； $\beta)$如果$X$携带拓扑$\mathfrak{T}$，则$X$没有孤立的点，并且$X$中没有孤立的点的每个子集都是开路。

b) 令 $X$ 为柯尔莫戈洛夫空间 ($§ 1$, 习题 2)，其中每个非空开集合都是无限的。证明$X$上存在准最大拓扑，其比给定的拓扑小更细（证明$X$上所有非空开路集合为无穷大的拓扑的集合是归纳性的，并使用习题 2 d) $§ 1$)。