习题 11, § 3

令$X$为空间的拓扑空间，$\mathfrak{T}$拓扑为$X$，$A$为$X$的稠密子空间。证明$X$上的拓扑集合比更细比$\mathfrak{T}$，其中$A$在$X$上稠密，并且其中诱导与$A$上的$\mathfrak{T}$相同拓扑，至少有一个极大元素；这样的极大元素称为$A$-最大拓扑。证明$X$上的拓扑$\mathfrak{T}_0$是$A$最大当且仅当$X$的每个子集$M$，这样$A \cap M$在$M$是稠密的（相对于$\mathfrak{T}_0$）并且开于$A$，在拓扑$\mathfrak{T}_0$开，子空间$CA$则在$\mathfrak{T}_0$诱导的拓扑中离散，并在$X$闭。还表明，如果 $\mathfrak{T}_0$ 是 $A$ 极大值，并且如果由 $\mathfrak{T}_0$ 在 $A$ 上诱导的拓扑是准极大值（§ 2，习题 6），则 $\mathfrak{T}_0$ 是准极大值。