习题 4, § 4

令$K$为两个数$0, 1$的离散空间由……组成；令$A$为无限集合，令$X$为乘积空间$K^A$。让

是$X$中的初等集合；如果$h$是指标$\alpha$的数使得$V_\alpha \neq K$，则放入$\mu(V) = 2^{-h}$。

a) 证明如果$U_1, \ldots, U_n$是成对的不相交的初等集合，那么

[将每个$U_k$写在形式$W_k \times K^B$中，其中$B$（独立于$k$）是$A$的有限子集的补集，$W_k$是有限的集合；数出$W_k$中点的数]。

b) 从a)推导出$X$满足条件$(D_{IV})$ of 习题 7 of § 1。 [如果有一个不可数族$(U_\lambda)$由成对的不相交的基本集合组成，那么就会存在整数$p > 0$这样$\mu(U_\lambda) \geq 1/p$对于指标$\lambda$的无限数]。

c) 证明如果 $A$ 不可数，则 $X$ 不是满足条件 $(D_{III})$ 习题 7 of § 1 (cf. 习题 3)。