习题 5, § 1

a) 令$X$为均匀空间，$\mathfrak{U}$为其均匀度；对于$X$的每个随行人员$V$，令$\tilde{V}$为$X$的子集的所有对$(M, N)$的$\mathfrak{P}(X) \times \mathfrak{P}(X)$由……组成子集，使得*$M \subset V(N)$和$N \subset V(M)$。证明集合 $\tilde{V}$ 形式 $\mathfrak{P}(X)$ 上均匀性 $\tilde{\mathfrak{U}}$ 的基本系统随行人员。

b) 在$X$的非空子集的集合$\mathfrak{P}_0(X)$上，证明拓扑$\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$由$\tilde{\mathfrak{U}}$诱导拓扑比拓扑$\mathfrak{T}_\Phi$更细（章） I, § 2、习题7)。

c) 如果 $X$ 至少有两个点并且 $\mathfrak{U}$ 是 Hausdorff，则表明 $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ 在 $\mathfrak{P}_0(X)$ 上诱导的拓扑绝不会比 $\mathfrak{T}_\Omega$ 更粗糙。 由$\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$在集合$\mathfrak{F}(X)$非空闭子集上$X$诱导拓扑比更细在$\mathfrak{T}_\Omega$上集合诱导拓扑当且仅当，对于每个闭集$X$子集$A$、集合$V(A)$形式$A$邻域基本系统与$V$贯穿$X$随行人员集合。

d) 证明在章 I, § 11、习题 18 中定义的商集 $X/R$、商拓扑以及由 $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$ 和 $\mathfrak{T}(\tilde{\mathfrak{U}})$ 定义的拓扑（其中 $\mathfrak{U}$ 是 $\mathbf{R}^2$ 上的通常一致性）都是四个独特。