习题 20, § 4

Let $X$ be a compact connected space and let $L$ be the set of all points of $X$ which have a fundamental system of connected neighbourhoods. $S = CL$的点被称为$X$的*单数*点。 $L$内部$\dot{L}$的点和$\bar{S}$的成分称为$X$的*主要成分*。

a) 令$A \neq X$为$X$的非空开子集，令$K$为$\overline{A}$的分量，令$F$为$\overline{A} \cap CK$的闭包。证明如果 $A \cap K \cap F$ 不为空，那么它的所有点都是奇异的。如果$x \in A \cap F \cap K$，$F$中$x$的分量$Q$满足$CA$[考虑$V(x)$中包含的$CK$的点及其在$\overline{A}$中的分量，并由利用习题17证明： $F$的点的集合可以通过$F$中的$V$链连接到$x$，并且满足$CA$]。推导出包含$x$满足$CA$的素成分$P$（注即$P$包含于$x$在$Q \cap A$的成分，并使用习题17应用于紧连通空间$Q$以及$Q$开放子集$Q \cap A$）。

b) 从 a) 推导出，如果 $P$ 是 $X$ 的主要成分，$U$ 是 $P$ 的邻域，则 $P$ 具有包含在 $U$ 中的连通邻域（通过 归谬法）。

c) 设$V$为$X$的对称周边，并令$V'$表示对的集合，$X$的点的$(x, y)$，可以通过$V$链连接，所有点为单数，除了$x$和$y$。由于$V$穿过X的对称周边，相应的集合V'形式是X上均匀性（通常不是豪斯多夫）的基本系统周边。令X'为关联的Hausdorff空间，并证明典范映射X→X'下的X'的逆像或点是X的主要成分。 （紧连通）空间X'被称为X素数成分的空间。证明 X' 是局部连通的 [使用 b) 和章 I, § 10, no. 4, 命题 8]。

d) 令 (rn) 为 ]0,1[ 中包含的所有有理数数的序列，排列在一些阶中。对于每个无理数 x ∈ [0,1]，让

令 X 为 f 图的$\mathbf{R}^2$ 中的闭包。证明 X 在其点与横坐标 0 和 1 之间是连通且不可约的，但 X 只有一个素数成分。*