习题 10, § 4

令$G$为拓扑群，并令$X, Y$为$G$连续运行的两个拓扑空间。然后$G$根据律$(s, (x, y)) \to (s.x, s.y)$不断对$X \times Y$进行运算。让$(X \times Y)/G$表示为$X \times ^G Y$。

a) 证明$X \times ^G G$（$G$通过自身的左翻译操作）与$X$典型同胚。 (如果$U$在$X$开放，则$U \times \{e\}$点轨道并在$X \times G$开放)(注)。

b) 令$Y'$为$G$连续运行的第三个拓扑空间，并令$f : Y \to Y'$为与$G$的恒等映射兼容的连续映射。 映射$i_X \times f$诱导连续的映射$\overline{f} : X \times ^G Y \to X \times ^G Y'$。如果 $f$ 开（分别为真、单射的、满射），那么 $\overline{f}$ (习题 9) 也是开的。给出例，其中$f$闭合，$G$在$X$上正常运行，但$\overline{f}$不闭合[取$X = G$，$X' = P$（单个点的空间由……组成）并使用习题4]。

c) 证明如果$G$在$X$上正确运行，那么$G$在$X \times Y$上正确运行。

d) 证明，如果 $Y$ 是紧的，典范映射 $X \times ^G Y \to X/G$ 是正确的[使用 b)]。

e) 假设$G$是局部紧致的，令$G'$为$G$的一点紧致。如果$\omega$在$G'$的无穷远处是点，则$G$根据$s.t = st$给出的外法则在$G'$上连续运行（如果$t \in G$和$s.\omega = \omega$）；那么$X$同胚于$X \times ^G G'$的开子空间（使用b））。推论如果$G$在$X$上正确运行并且加法$X/G$是局部紧致的，那么$X$是局部紧致的[使用c)来证明$X \times ^G G'$是Hausdorff]。

f) 给出一个局部紧凑的群 $G$ 在空间 $X$ 上连续运行的例，它不是局部紧凑的，这样 $X/G$ 由单个点 (cf. § 2, 习题) 组成29）。 \