习题 20, § 6

a) 设 $K$ 为除法环，具有与 $K$ 的 环 结构兼容的非离散 Hausdorff 拓扑 $\mathfrak{T}$。 $K$的子集$M$是右（或左）有界的当且仅当，对于$o$的每个邻域$U$，存在$a \in K^*$使得$aM \subset U$（或$Ma \subset U$）；对于每个 Hausdorff 拓扑 $\mathfrak{T}'$，$M$ 是右（或左）边界，它比 $\mathfrak{T}$ 更粗糙，并且与 $K$ 的环结构兼容。

b) 如果 $\mathfrak{T}$ 局部有界 (习题 12) 并且 $U$ 是 $o$ 相对于 $\mathfrak{T}$ 的有界邻域，则集合 $xU$（分别为 $Ux$） 形式 $o$ 的邻域的基本系统（相对于$\mathfrak{T}$），因为$x$ 贯穿$K^*$。 $K$ 的每个点相对于$\mathfrak{T}$ 都有 $o$ 邻域的可数基数系统当且仅当存在 $K$ 的点序列 $(a_n)$ 其中有$o$ 作为一个集群点。

c) $K$（与$K$的环结构兼容）上任何有限族局部有界拓扑中的最小上界是局部有界的。相反，如果$K$上局部有界拓扑族$(\mathfrak{T}_i)$的最小上界$\mathfrak{T}$是局部有界的，则$\mathfrak{T}$是$(\mathfrak{T}_i)$的*有限*子族的最小上界。 （注，如果$U$是$o$的邻域，且相对于$\mathfrak{T}$有界，则存在指标$(l_k)$的有限系统，并且对于每个$k$邻域 $o$的$V_k$，以$\mathfrak{T}_{l_k}$为界，使得$\bigcap V_k \subset U$；另一方面，存在$a_k \in K^*$使得$U \subset a_k V_k$。）

d) 环 $K$ 的子集 $F$ 被称为“准环”，如果： (i) $F \neq K$、$o \in F$、$1 \in F$、$-F = F$、$FF \subset F$； (ii) 存在元素$c \in F^* = F \cap K^*$使得$c(F + F) \subset F$； (iii) 对于每个$x \in F$，都存在$y \in F$，使得$yF \subset Fx$和$Fy \subset xF$。证明如果 $\mathfrak{T}$ 是非离散 Hausdorff 拓扑，它局部有界且与 $K$ 的环结构兼容，则 $o$ 的每个对称有界邻域 $U$（相对于 $\mathfrak{T}$），使得$UU \subset U$ 和 $1 \in U$ 是准环，$U^*(U^*)^{-1} = K^*$ [习题 19 b)]。如果$V$是$o$相对于$\mathfrak{T}$的任何对称有界邻域，则元素$x \in K$的集合$U$使得$xV \subset V$（或$Vx \subset V$）是对称有界$o$相对于$\mathfrak{T}$的邻域使得$UU \subset U$和$1 \in U$，因此是准环。

e) 相反，令 $F$ 为 $K$ 中的拟环，使得 $F^*(F^*)^{-1} = K^*$。证明存在一个 Hausdorff 拓扑 $\mathfrak{T}$，它不是离散的，并且与 $K$ 的环结构兼容，使得 $F$ 是 $o$ 相对于 $\mathfrak{T}$ 的有界邻域。特别地，我们可以将$F$视为$K$的任意子环$A$，使得$K$是$A$的右分式除环。特别是，如果$K = \mathbf{Q}$和$F = \mathbf{Z}$，$K$上的相应的拓扑$\mathfrak{T}$与$K$上的域结构不兼容。