习题 1, § 7

a) 证明$p$-adic 整数 [§ 6, 习题 23 a)] 的环 $\mathbf{Z}_p$ 同构于离散环 $\mathbf{Z}/(p^n)$, $f_{nm}: \mathbf{Z}/(p^m) \to \mathbf{Z}/(p^n)$ 的序列逆极限当$\mathbf{Z}/(p^n)$被视为$\mathbf{Z}/(p^m)$的商环时，$n \leq m$为典范同态。

b) 对于每个整数$n > 0$，令$G_n$为有理整数的群$\mathbf{Z}$，并令$X_n$为其商群$\mathbf{Z}/(p^n)$（$p$素的），$G_n$和$X_n$携带离散的拓扑；将$(G_n)$视为逆系，$G_m \to G_n$视为恒等映射；并将$(X_n)$视为逆系，$f_{nm}: X_m \to X_n$视为典范同态（参见a）对于$n \leq m$。 Then the orbit of each point of $X_n$ with respect to $G_n$ is compact, but the orbit of a point $x = (x_n)$ of $X = \varprojlim X_n$ with respect to $G = \varprojlim G_n$ is not compact, and is not isomorphic to the inverse limit of the orbits of the $x_n$; also the canonical mapping $X/G \to \varprojlim X_n/G_n$ is not injective.

c) 对于每个$n > 0$，令$G_n$为$\mathbf{Z}$（$p$素的）的子群$p^n\mathbf{Z}$，并令$X_n$为群$\mathbf{Z}$，其中$G_n$和$X_n$携带离散拓扑和$G_n$通过$X_n$上的翻译进行操作。 将$(G_n)$和$(X_n)$视为逆系，$X_m \to X_n$视为恒等映射且$G_m \to G_n$典范嵌入$(n \leq m)$。 那么$X_n$的每个点（相对于$G_n$）的稳定子是紧致的，$X = \varprojlim X_n$的每个点的轨道相对于$G = \varprojlim G_n$是紧致的，但是典范映射$X/G = \varprojlim X_n/G_n$不是满射的。

d) 构造，使用b)和c)，空间的逆系的例以及运算符$(X_\alpha)$相对于群$(G_\alpha)$的逆系，这样，如果$X = \varprojlim X_\alpha$和$G = \varprojlim G_\alpha$，典范映射 $X/G \to \varprojlim X_\alpha / G_\alpha$既不是单射也不是满射。