习题 2, § 3

a) 在多项式环$A = \mathbf{R}[X]$上，考虑线性排序环结构，其中元素$\geqslant 0$为$0$，以及所有首项系数为$> 0$的多项式$\neq 0$。证明拓扑$\mathfrak{T}_0(A)$与$A$的环结构不兼容。

b) 如果$K$是有序域拓扑$\mathfrak{T}_0(K)$与$K$的环结构兼容，并且这个环拓扑的有界集合（章III, § 6， 习题 12) 是阶结构的有界集合。 拓扑 $\mathfrak{T}_0(K)$ 局部回溯（章 III, § 6、习题 22），特别是与 $K$ 的域结构兼容；此外，$K$相对于拓扑的补全$\hat{K}$，即域（\emph{loc.cit.}）被规范地赋予了有序域的结构[§ 1，习题 3 b)]。

c) 在域$K = \mathbf{Q}(\sqrt{2})$，被视为$\mathbf{R}$的有序子域，考虑拓扑$\mathfrak{T}$，其中$(x, y) \to x + y \sqrt{2}$是$\mathbf{Q}^2$到$K$的同胚，$\mathbf{Q}^2$携带乘积拓扑。这个拓扑$\mathfrak{T}$比$\mathfrak{T}_0(K)$更细，并且兼容$K$的域结构；但这个拓扑域的完成度并不是域。

d) 域 $K = \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2})$，视为向量空间超过$\mathbf{Q}$，是$1$和$\sqrt[3]{2}$生成的向量子空间$G'$的直和，以及向量子空间 $G''$ 由$\sqrt[3]{4}$ 生成。 Consider the topologies on $G'$ and $G''$ induced by the topology of $\mathbf{R}$; let $\mathfrak{T}$ be the topology on $K$ which is the product of the topologies of $G'$ and $G''$. 证明$\mathfrak{T}$与$K$的加法群结构兼容，并且更细比$\mathfrak{T}_0(K)$高（$K$被视为$\mathbf{R}$的有序子域），但与$K$的环结构不兼容。