习题 21, § 2

a) 令$X$为可度量空间，令$d$为与$X$的拓扑兼容的有界度量，令$\sigma$为非空闭的集合$\tilde{\mathfrak{F}}(X)$上的相应的到$d$度量子集共 $X$ (习题 6)；令 $R$ 为$X$ 上的开闭等价关系。证明 $\sigma$ 到 $X/R$ 的限制是与商拓扑兼容的度量。 [使用习题 20 b) 表明每个类 mod $R$ 都是开紧的。然后证明，如果$X/R$中的序列$(z_n)$趋向于点$a$，并且如果$\varphi : X \to X/R$是典范映射，则有$\sigma(\overline{\varphi^{-1}(a)}, \overline{\varphi^{-1}(z_n)}) \to 0$；利用 $R$ 开的事实进行反证论证。]

b) 在$\mathbf{R}$的紧致区间$I = [0, 1]$上，令$R$为等价关系，其类为康托集合$K$的点（章VI, § 2, no. 5），除了与 $K$ 相邻的区间，以及与 $K$ 相邻的区间的闭包。证明商空间 $I/R$ 同态于 $I$ [章 IV, § 8, 习题 16 b)]，但度量 $\sigma$ 与 $I/R$ 的拓扑不兼容。