习题 18, § 4

拓扑空间$X$的子集的族$(A_\alpha)$被称为“离散”，如果对于每个$x \in X$，$x$中有邻域满足该族的最多一个集合$A_\alpha$。如果对于 $X$ 的闭子集的每个离散族 $(A_\alpha)$，存在一个不相交的开子集 $X$ 的族$(U_\alpha)$，则称 Hausdorff 空间 $X$ 是“集体正态”，使得每个指标 $\alpha$ $A_\alpha \subset U_\alpha$。每个集体正常空间都是正常的。

a) 完全正则空间$X$的每个开覆盖都是可整除的（习题16）当且仅当$X \times X$中对角线$\Delta$的邻域的集合是$X$普遍均匀性的随行滤波器（$§ 1$，习题5）。证明如果满足条件，则$X$是集体正规的[如果$(A_\alpha)$是$X$的闭子集的离散族，考虑开覆盖$(V_\alpha)$，其中每个$\alpha$都有$V_\alpha = X - \bigcup_{\beta \neq \alpha} A_\beta$]。

b) 设$Y = [a, b[$为章I、$§ 9$、习题12中定义的局部紧空间；令$Y_0$为集合$Y$赋予离散拓扑，并令$Z$为集合$Y_0 \cup \{ b \}$，其中$Y_0$的点开集合和集合 $]x, b[$，其中$x$从$b$的邻域的基本系统贯穿$Y_0$。证明空间 $X = Y \times Z$ 是集体正规的（回想一下，$Y$ 的子集的无限族不能离散，并使用习题 4）。设$\mathfrak{R}$为$Y \times Y_0$和乘积$[a, x] \times ]x, b]$的$X$由……组成的开覆盖（其中$x < b$）；表明$\mathfrak{R}$不可整除，因而$X \times X$中对角线$\Delta$的邻域的集合不是$X$上均匀性周围的过滤器[使用章的习题 12 a) I，$§ 9$]。