习题 21, § 4

a) 令$X$为仿紧空间，并令$R$为$X$上的闭等价关系，使得每个等价类相对于$R$都是紧的。证明 $X/R$ 是仿紧致的 [使用习题 15 a)、no. 3 的定理 3，以及 no. 5 的引理 6； cf. 习题 15 c)]。

b) 令$X$为Hausdorff空间，并令$R$为$X$上的闭等价关系，使得每个等价类相对于$R$都是紧致的。证明如果 $X/R$ 是仿紧致的，那么 $X$ 也是仿紧致的（使用章 I、$§ 9$、no. 10、命题 17 的参数）。

c) 令$Y$为局部紧致而非仿紧致空间（cf.章I、$§ 9$、习题12），并令$Y_0$为$Y$的单点紧致。令$X$为$Y$和$Y_0$的拓扑和，并令$R$为$X$上的等价关系，它标识$Y$的每个点与其典范像 $Y_0$。 关系$R$是开集，每个等价类模$R$包含至多有两个点，$X/R$与$Y_0$同胚，因此是紧的。