习题 25, § 4

如果给定 $X$ 的任何开覆盖 $R$，存在对 $X$ 进行细化 $R$ 的点有限开覆盖​​，则 Hausdorff 空间 $X$ 被称为“元紧”。

a) 证明元紧致空间的每个闭子空间都是元紧致，并且如果元紧致空间 $X$ 的每个开子空间都是元紧致，那么 $X$ 的每个子空间都是元紧致。

b) 令$X$为Hausdorff空间，并令$R$为$X$上的闭等价关系，所有等价类都是紧致的。证明如果 $X/R$ 是元紧致的，则 $X$ 是元紧致的[论证如习题 21 b)]。

c) 证明既是元紧又是可数紧的拓扑空间 (§ 2, 习题 14) 是紧的。 [使用 Zorn 的引理来证明每个点有限开覆盖​​ 包含是一个最小开覆盖，并使用 § 2、习题 14 a)。]

d) 章 I, § 9、习题 12 中定义的局部紧致、完全正常的空间 $X = [a, b[$ 不是超紧致 (*)。

e) 令$Y$为可度量的空间，并令$A$为$Y$的子集，使得$A$及其补集在$Y$中稠密。 令$X$表示将$Y$和集合$A$开集合生成的拓扑赋予$Y$而得到的非常规空间。 证明 $X$ 是超紧的。 （对于每个$x \in X$，考虑$x$的邻域$V_x$包含在$X$的给定开放覆盖$\mathfrak{R}$的集合中，使得$V_x \subset A$如果$x \in A$，并且使得$V_x$是邻域如果$x \notin A$，则$x$在$Y$中。 注 $X$ 的子空间 $A$ 是仿紧子，$x \notin A$ 的 $V_x$ 的并也是仿紧子。）