习题 9, § 4

a) 令$X$为仿紧致空间，其中每个点都有邻域的可数基本系统，并令$Y$为可数紧致正规空间（$§ 2$，习题14）。证明$X \times Y$是正规的。 [令$A, B$是$X \times Y$的两个不相交的闭子集；对于每个$x \in X$，证明$X$中有$x$的邻域$U_x$，以及$Y$中有两个开放的集合$V_x, W_x$，使得$\overline{V_x} \cap \overline{W_x} = \emptyset$，并且对于每个$z \in U_x$我们有$A(z) \subset V_x$和$B(z) \subset W_x$；为了证明这一点，可以用反证法来论证。令$(T_\lambda)_{\lambda \in L}$是$X$、更细的局部有限开覆盖​​$(U_x)_{x \in X}$，并令$(f_\lambda)$是单位元的划分从属于$(T_\lambda)$；对于每个$\lambda \in L$，令$x_\lambda$满足$T_\lambda \subset U_{x_\lambda}$，并令$g_\lambda$为$Y$到$[0, 1]$的连续映射，在$\overline{V}_{x_\lambda}$上等于0，在$\overline{W}_{x_\lambda}$上等于1；考虑$X \times Y$上的函数$\sum f_\lambda(x) \ g_\lambda(y)$。]

b) 设$Y = [a, b[$为章I, § 9、习题12中定义的局部紧致空间，并令$X = [a, b]$为将点无穷远邻接到$Y$所获得的紧致空间。 $Y$ 是正规 (习题 4) 且可数紧致 (§ 2, 习题 15)，但乘积 $X \times Y$ 不是正规 (使用章 II, § 4, 习题 4)。