习题 4, § 6

令 $X$ 为可度量的空间。

a) 证明$X$的Borel子集集合是$\mathscr{P}(X)$的最小的子集$\mathfrak{F}$，其中包含都闭$X$的子集并且使得可数并和$\mathfrak{F}$ 属于至 $\mathfrak{F}$ 可数交集合。 （考虑所有$A \in \mathfrak{F}$中的$\mathfrak{F}$由……组成中的子集$\mathfrak{S}$，使得$X - A \in \mathfrak{F}$。）

b) 证明$X$的Borel子集的集合是$\mathscr{P}(X)$的最小的子集$\mathfrak{F}$，其中包含都开$X$的子集并且使得每个可数的交 $\mathfrak{F}$属于集合至$\mathfrak{F}$，以及$\mathfrak{F}$属于至$\mathfrak{F}$相不相交的集合序列并（相同方法）。

c) 每个序数$\alpha$都可以唯一地写成形式$\alpha = \omega \beta + n$，其中$n < \omega$（集合理论，章III, § 2，习题15）；根据 $n$ 是偶数或奇数，$\alpha$ 被称为偶数或奇数。 For every countable ordinal $\alpha$, we define by transfinite induction sets of subsets $\mathfrak{F}_{\alpha}(X)$, $\mathfrak{G}_{\alpha}(X)$ (or simply $\mathfrak{F}_{\alpha}$, $\mathfrak{G}_{\alpha}$) as follows: $\mathfrak{F}_0$ (resp. $\mathfrak{G}_0$) is the set of all closed (resp. open) subsets of $X$; if $\alpha$ is even and $> 0$, $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (resp. $\mathfrak{G}_{\alpha}$) is the set of all subsets of $X$ which are countable intersections (resp. countable unions) of sets belonging to $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_{\xi}$ (resp. $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_{\xi}$); if $\alpha$ is odd, then $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (resp. $\mathfrak{G}_{\alpha}$) is the set of all subsets of $X$ which are countable unions (resp. countable intersections) of sets belonging to $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{F}_{\xi}$ (resp. $\bigcup_{\xi < \alpha} \mathfrak{G}_{\xi}$). 证明$\mathfrak{F}_{\alpha}$（或$\mathfrak{G}_{\alpha}$）的并是$X$的Borel 子集的集合[使用a)]。 推论如果$X$是可数的型，$X$的Borel子集的集合最多有幂等于连续统的幂。

d) 关系 $A \in \mathfrak{F}_{\alpha}$ 相当于$\complement A \in \mathfrak{G}_{\alpha}$。 Every finite union (resp. intersection) of sets of $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (resp. $\mathfrak{G}_{\alpha}$) belongs to $\mathfrak{F}_{\alpha}$ (resp. $\mathfrak{G}_{\alpha}$). 我们有$\mathfrak{F}_{\alpha} \subset \mathfrak{F}_{\alpha+1} \cap \mathfrak{G}_{\alpha+1}$和$\mathfrak{G}_{\alpha} \subset \mathfrak{F}_{\alpha+1} \cap \mathfrak{G}_{\alpha+1}$（使用超限归纳）。

e) 设$f$是$X$的连续映射到可度量的空间$Y$。证明 $\overline{f}^{-1}(\mathfrak{F}_\alpha(Y)) \subset \mathfrak{F}_\alpha(X)$ 和 $\overline{f}^{-1}(\mathscr{G}_\alpha(Y)) \subset \mathscr{G}_\alpha(X)$。

f) 如果$X$和$Y$是两个可度量的空间和$A \in \mathfrak{F}_\alpha(X)$、$B \in \mathfrak{F}_\alpha(Y)$，[分别。 $A \in \mathscr{G}_\alpha(X)$，$B \in \mathscr{G}_\alpha(Y)$]，然后$A \times B \in \mathfrak{F}_\alpha(X \times Y)$ [分别。 $A \times B \in \mathscr{G}_\alpha(X \times Y)$]。

g) 令 $(X_n)$ 为可度量的空间的序列。证明如果对于每个 $n$，$A_n$ 是 $X_n$ 中的 Borel 集合，则 $\prod_n A_n$ 是 $\prod_n X_n$ 中的 Borel 集合。

h) 令$\alpha > 0$为偶数（或奇数）可数序数，并令$(A_n)$为$X$的可数覆盖，由集合属于到$\mathscr{G}_\alpha$（或$\mathfrak{F}_\alpha$）组成。证明 $X$ 中有划分 $(B_n)$，使得每个 $n$ 都有 $B_n \subset A_n$ 和 $B_n \in \mathfrak{F}_\alpha \cap \mathscr{G}_\alpha$ [使用 d)]。