Bourbaki

习题 5, § 1

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一般拓扑, VII

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令G,G′G, G'为Rn\mathbf{R}^n的两个闭子群，使得G′⊂GG' \subset G，并令VV（或V′V'）为包含在GG（或G′G'）中的最大的向量子空间。证明存在向量子空间 WW 与 VV 互补，使得 GG 是 VV 的直和以及离散的群 K=W∩GK = W \cap G，并且G′G' 是直和 V∩G′V \cap G' 和 K∩G′=W∩G′K \cap G' = W \cap G'。 （如果UU是向量子空间与V′V'互补，则使用习题3来表明离散群U∩G′U \cap G'是U∩V∩G′U \cap V \cap G'的直和和离散群 K′K'，并取WW为向量子空间包含K′K'。）推出：

a) 商群 G/G′G/G' 同构于形式的乘积群

Rp×Tq×Zr×F, \mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q \times \mathbf{Z}^r \times F,

其中 FF 是有限的阿贝尔的群。

b) 形式 Rp×Tq×Zr×F\mathbf{R}^p \times \mathbf{T}^q \times \mathbf{Z}^r \times F（FF有限和阿贝尔的）的每个闭子群和群的每个Hausdorff商群都具有相同的形式。

解答

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