习题 6, § 1

令$H$和$K$是$\mathbf{R}^n$的两个闭子群，使得$H + K$是闭子群。

a) 证明，如果$V$（或$W$）是最大的向量子空间包含在$H$（或$K$）中，则$V + W$ 是最大的向量子空间在$G$中，因而$d(H) + d(K) = d(H \cap K) + d(H + K)$[注，$G/(V + W)$的有理秩是有限的，因而$G$不能包含不包含在$V + W$中]。

b) Let $U$ be a subspace complementary to $V + W$, such that $G$ is the direct sum of $V + W$ and $M = G \cap U$, and such that $H \cap K$ is the direct sum of $(V + W) \cap (H \cap K)$ and $L = H \cap K \cap U$ (Exercise 5). 令$H'$（分别为$K'$）为$G$的分解中$H$（分别为$K$）的点分量的$M$由……组成到直和的子群 $V + W$ 和 $M$。 显示 $M = H' + K'$ 和 $H' \cap K' = L$。

c) 如果我们放入$H'' = H \cap (V + W)$和$K'' = K \cap (V + W)$，则证明$r(H'') + r(K'') = r(H'' \cap K'') + r(H'' + K'')$（对于$V \cap W = \{ o \}$的情况，约化，并证明$H'' \cap K''$是$V \cap K''$和$W \cap H''$的直和。

d) 表明

[使用c)和习题4，注意$r(H) = r(H') + r(H'')$和$r(K) = r(K') + r(K'')$]。