习题 8, § 1

a) 设$H, K$是$\mathbf{R}^n$的两个闭子群。证明如果 $r(H) + r(K)$ 等于 $r(H \cap K) + r(H + K)$，则 $H + K$ 在 $\mathbf{R}^n$ 中闭合。 [给定利用习题7和假设，约化对于$H, K$和$H \cap K$所有生成*相同*向量子空间；如果$V$（或$W$）表示最大的子空间包含在$H$（或$K$）中，则在习题 5的帮助下显示$V$是由$V \cap K$生成的，并且$W$由$W \cap H$生成；最后，分裂的向上$H \cap K$变成$H \cap K \cap (V + W)$的直和和离散的群，由利用习题7。]

b) 由a)和习题 6 推导出，如果$H$和$K$是$\mathbf{R}^n$的两个闭子群，使得$H + K$是闭子群，则$H^* + K^*$也是闭子群。

c) 从 b) 推导出，如果 $H$ 和 $K$ 是 $\mathbf{R}^n$ 的*两个*闭子群，使得 $d(H) + d(K) = d(H \cap K) + d(H + K)$，则子群 $H + K$ 是闭的。