习题 14, § 4

设$X$为拓扑空间。对于每个函数$u \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，使得$u(x) > 0$对于所有$x \in X$，令$V_u$是所有$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的集合，使得$|f| \leq u$。

a) 证明对于与 $A$ 的环结构兼容的 Hausdorff 拓扑 $\mathscr{T}$，集合 $V_u$ 是$A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 中$0$ 的邻域。

b) 由$\mathscr{T}$在$\mathscr{C}^\infty(X; \mathbf{R})$上引起的拓扑比$X$均匀收敛的拓扑为更细。这两种拓扑重合当且仅当$X$是伪紧的（章IX, § 1，习题21）。如果$X$不是伪紧，则$\mathscr{T}$在常数函数的集合上诱导的拓扑是离散的拓扑，因此$\mathscr{T}$与$\mathbf{R}$向量空间结构不兼容$A$。

c) 证明 $A$ 是关于拓扑 $\mathscr{T}$ 的 Gelfand 环 (章 III, § 6, 习题 11)。