习题 15, § 4

令 $X$ 为完全正则空间，令 $\beta X$ 为其 Stone-Čech 紧致化。将习题 14中定义的拓扑$\mathscr{T}$赋予环$A = \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$。对于每个$f \in A$，令$V(f)$为$X$的子集$\overline{f}(0)$在$\beta X$中的闭包。对于$A$中的每个子集$M$，令$V(M)$表示$\bigcap_{f \in M} V(f)$。对于$\beta X$的每个子集$Y$，令$\mathfrak{J}(Y)$表示所有$f \in A$中的集合，使得$Y \subset V(f)$，并用$\mathfrak{J}(x)$代替$\mathfrak{J}(\{x\})$。当且仅当$f$在$A$中是单位时，我们才有$V(f) = \varnothing$。

a) 如果$f, g$是$A$的两个元素，使得$\overline{f}(0) \cap \overline{g}(0) = \varnothing$，则证明$V(f) \cap V(g) = \varnothing$。 [考虑函数$|f|/(|f| + |g|)$。推断出，对于$A$的每个子集$M$，我们都有$V(M) = V(a)$，其中$a$是$M$在$A'$中生成的理想。

b) 证明，对于$\beta X$的每个子集$Y$，$\mathfrak{J}(Y)$是$A$的理想[使用a)]，并且$V(\mathfrak{J}(Y))$是$\beta X$中$Y$的闭包$\overline{Y}$。

c) 令$u \in A$对于所有$x \in X$来说是$u(x) > 0$，并且令$g \in A$。证明存在$f \in A$使得$|f - g| \leq u$并且使得$V(f)$是$V(g)$的邻域。 [如果$g(x) + u(x) < 0$则定义$f$等于$g + u$，如果$g(x) - u(x) > 0$则等于$g - u$，否则等于0；考虑函数 $f' = \inf((u + g)^+, (u - g)^-)$ 并使用 a)。]

d) 令$a$为$A$的理想。 证明如果 $f \in A$ 使得 $V(f)$ 是 $V(a)$ 的邻域，则$f \in a$。 [Note first that there exists $g \in a$ such that $V(g)$ is contained in the interior of $V(f)$, and then consider the function $h$ defined on $X$ which is equal to $f(x)/g(x)$ if $f(x) \neq 0$, and equal to $0$ if $f(x) = 0$.]

e) 从 c) 和 d) 中推导出 $\mathfrak{J}(V(a)) = \overline{a}$ 对于 $A$ 的每个理想 $a$。 [首先证明$V(M) = V(\overline{M})$对于$A$的所有子集$M$，通过矛盾论证。] 推出，对于$\beta X$的每个子集$Y$，$\mathfrak{J}(Y)$是$A$的封闭理想。 [注那个$\mathfrak{J}(Y) = \mathfrak{J}(V(\mathfrak{J}(Y)))$。]

f) 使用 e) 证明 $x \to \mathfrak{J}(x)$ 是 $\beta X$ 的双射到 $A$ 的最大理想（必然闭合）的集合。当且仅当最大理想为交时，$A$ 的理想是封闭的。 环 $A$ 没有部首。