习题 16, § 4

我们保留习题 15 的假设和记号。

a) 令$a$为环$A$的封闭理想。表明在$A$函数$f \geq 0$典范像商环$A/a$集合$P$是元素$\geq 0$集合相对于使得$A/a$ 格序环 [观察，利用习题 15 e)，如果 $f$ 和 $g$ 属于到 $a$，那么$|f| + |g|$ 和每个函数 $h \in A$ 也如此$|h| \leq |f|$]。常数函数的集合$A/a$中的典范像与$\mathbf{R}$同构为有序域。

b) 特别地，对于每个 $x \in \beta X$，域 $A/\mathfrak{J}(x)$ 被规范地赋予有序域结构。如果 $A/\mathfrak{J}(x)$ 同构于 $\mathbf{R}$，则称最大理想 $\mathfrak{J}(x)$ 为实数，否则为超实数。对于$\mathfrak{J}(x)$是超真实的，$x \in \beta X - X$是必要且充分的，并且存在单位$f \in A$使得$\lim_{y \to x, y \in X} f(y) = 0$。推出$A$的所有最大理想都是真实的当且仅当$X$是伪紧的（章IX, § 1，习题21）。

c) 对于每个$x \in \beta X$，令$\varphi_x$为典范同态$A \to A/\mathfrak{J}(x)$。对于$A/\mathfrak{J}(x)$中的$\varphi_x(f)$为$\geq 0$，存在$g \in \mathfrak{J}(x)$使得$\overline{g}^{-1}(0)$中的$f(y) \geq 0$是充分必要的[观察关系$\varphi_x(f) \geq 0$等价于$f \equiv |f| \pmod{\mathfrak{J}(x)}$]。为了使$\varphi_x(f)$成为$> 0$，存在$g \in \mathfrak{J}(x)$使得$f(y) > 0$存在于$\overline{g}^{-1}(0)$中是充分必要的。 [注，如果$f \notin \mathfrak{J}(x)$，则存在$g \in \mathfrak{J}(x)$，使得$\overline{f}^{-1}(0) \cap \overline{g}^{-1}(0) = \emptyset$乘以利用习题 15。]

d) 证明如果$\mathfrak{J}(x)$是超实数，则域$A/\mathfrak{J}(x)$对$\mathbf{R}$的超越次数至少等于$c = \mathrm{Card}(\mathbf{R})$。 [令$f > 0$为$A$的单位，使得$\varphi_x(f) = u$相对于$\mathbf{R}$无限大。证明当$r$经过$\mathbf{R}$基元素超过$\mathbf{Q}$（数$> 0$由……组成）时，$A/\mathfrak{J}(x)$元素$\varphi_x(f^r)$是代数独立的。]

\* e) 对于每个点 $a = (a_1, \ldots, a_n) \in \mathbf{R}^n$，令 $f_a(X)$ 表示多项式 $X^n + a_1 X^{n-1} + \cdots + a_n$。对于每个实数$\xi$，令$v(\xi)$为$\mathbf{C}$中$f_a$的零$z$重数的和，使得$R(z) = \xi$；对于每个整数$k$使得$1 \leq k \leq n$，令$\rho_k(a)$为最小的实数$\xi$使得$\sum_{\eta \leq \xi} v(\eta) \geq k$。证明函数$\rho_k$中的每一个在$\mathbf{R}^n$上都是连续的（使用Rouché的定理）。

f) 证明，对于每个 $x \in \beta X$，有序域 $A/\mathfrak{J}(x)$ 是实闭的。 [令$F(X) = X^n + f_1 X^{n-1} + \cdots + f_n$为奇数次数的多项式，系数为$A$； 函数$g_k(y) = \rho_k(f_1(y), \ldots, f_n(y))$，其中$\rho_k$是e)中定义的函数，在$X$上连续，并且对于每个$y \in X$，有指标$k$使得$F(g_k(y)) = 0$；推导出乘积 $F(g_1) \cdots F(g_n)$ 属于到 $\mathfrak{J}(x)$。]

g) 令$X$为无限离散空间，并令$y \to F_y$为$X$的双射到$X$的有限子集的集合；对于每个$z \in X$，令$M_z$为所有$y \in X$中的集合，使得$z \in F_y$； $X$ 上的过滤器 $\mathfrak{F}$ 的这些集合形式基。令$x$为$\beta X$的点，使得$X$上的相应的超滤器（章I, § 9，习题27）为更细比$\mathfrak{F}$。令$B$为$A$的子集，使得$\mathrm{Card}(B) \leq \mathrm{Card}(X)$，并令$y \to g_y$为满射映射$X \to B$。对于每个$z \in X$，放入$f(z) = 1 + \sup_{y \in F_z} g_y(z)$。对所有 $z \in M_y$ 显示 $f(z) > g_y(z)$，并针对所有 $y \in Y$ 推出 $\varphi_x(f) > \varphi_x(g_y)$ [使用 c)]。 结论那个$\mathrm{Card}(A/\mathfrak{J}(x)) > \mathrm{Card} X$。