习题 20, § 4

a) 令$X$为紧空间，令$A$为有限秩与单位元素的$\mathbf{R}$代数，并赋予$A$以在章VI, § 1, no. 5中定义的拓扑。令$B$为$\mathbf{R}$代数$\mathscr{C}(X; A)$的子代数，并假设对于每个$\varepsilon > 0$，$X$的不同点$x, y$的每个对和元素的每个对 $A$的$u, v$，存在$f \in B$使得$\|f(x) - u\| \leq \varepsilon$和$\|f(y) - v\| \leq \varepsilon$（$\| \ \|$是定义$A$的拓扑的任何范数）；进一步假设，如果$u$和$v$属于到$\mathbf{R}$，则存在函数$f \in B$满足这些条件并在$\mathbf{R}$中取其值。证明，在这些假设下，$B$ 相对于一致收敛的拓扑而言在 $\mathscr{C}(X; A)$ 中是稠密的。 [首先证明$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的每个函数都可以由$B$的函数统一近似，然后通过使用假设和单位元的划分，同样适用于每个常数$a \in A$。]

b) 取$A = \mathbf{H}$，四元数除以$\mathbf{R}$的环。令 $B$ 为 $\mathbf{R}$ 代数 $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$ 的子代数，使得： (i) 对于 $f$ 的每个 $f \in B$、共轭 $\overline{f}$ [由所有 $x \in X$ 的 $\overline{f}(x) = \overline{f(x)}$ 定义] 属于至$B$； (ii) 对于每个$\varepsilon > 0$、$X$的不同点$x, y$的每个对以及$\mathbf{H}$的元素$u, v$的每个对，存在$f \in B$使得$\|f(x) - u\| \leq \varepsilon$ 和 $\|f(y) - v\| \leq \varepsilon$。证明 $B$ 在 $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$ 中是稠密的 [使用 a)]。

c) 扩展习题 13 到代数 $\mathscr{C}(X; \mathbf{H})$ 的结果，并特别表明该代数的每个封闭理想都是双面的 [如习题 19 中的论证，使用 b)]。