习题 7, § 4

Let $X$ be a non-compact, completely regular space. a) Show that the following properties are equivalent: α) The subalgebra of $C^\infty(X; \mathbf{R})$ consisting of functions of the form $c + f$, where $c$ is a constant and $f$ has compact support (Chapter IX, § 4, no. 3), is dense in $C^\infty(X; \mathbf{R})$. β) If $\beta X$ is the Stone-Čech compactification of $X$, then $\beta X - X$ consists of a single point. γ) There is only one uniformity on $X$, compatible with its topology, with respect to which $X$ is precompact. δ) If $A, B$ are two completely separated closed subsets of $X$ (Chapter IX, § 1, Exercise 11) then one of $A, B$ is compact. ζ) If $\mathscr{U}$ is any uniformity on $X$ compatible with its topology and if $V$ is any entourage of $\mathscr{U}$, there is a subset $L$ of $X$ whose complement is compact, such that $L \times L \subset V$. θ) There is only one uniformity on $X$ compatible with its topology. [注 α) 意味着 $X$ 是局部紧致的，因此在 $\beta X$ 中开路，因此表明 $\alpha) \Longrightarrow \beta)$；证明 $\beta) \Longrightarrow \alpha)$ 使用 Weierstrass-Stone 定理。 为了证明$\beta) \Longrightarrow \gamma)$，请使用$\beta X$在$X$上引起的均匀性是与$X$的拓扑兼容的最佳均匀性这一事实，相对于$X$是预紧的。 要显示 $\gamma) \Longrightarrow \delta)$，请使用章 IX, § 1、习题 11。 为了证明$\delta) \Longrightarrow \zeta)$，首先证明如果$V$是$\mathscr{U}$的任意随行，则存在$z \in X$使得$V(z)$不是紧的；否则 $X$ 对于 $\mathscr{U}$ 和准紧致 (章 II, § 4, 习题 9) 来说是完备的，因此是正常的；然后在 δ) 的帮助下证明 $X$ 将是可数紧凑的 (章 IX, § 2, 习题 14)，最后使用章

II, § 4, 习题 6. 然后将此结果应用到由$f(x, x') \leq 1$定义的周围V，其中$f$是$X$上的连续伪距，并从$\delta$推出）有子集$L$ $X$，其补集是紧凑的，使得$L \times L \subset V$。最后，为了建立$\zeta) \Longrightarrow \theta$），观察$X$上的每个超滤器要么收敛，要么更细比$X$的相对紧凑的子集的补集过滤器收敛。

b) 证明满足 a) 的等价条件的空间 $X$ 是伪紧的 (章 IX, § 1, 习题 22)。 [使用章IX, § 1的习题12，否则观察如果$X$不是伪紧，则$X$的点有序列$(x_n)$，没有簇点和连续的映射 $f : X \to [0, 1]$使得$f(x_{2n}) = 0$和$f(x_{2n+1}) = 1$。]

c) 令 $Y$ 为非紧、完全正则空间。证明$\beta Y$的子空间$X$是$\beta Y - Y$的点的补集，满足a)的条件。