Bourbaki

习题 14, § 2

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交换代数, I, 45

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设 A、B 为两个环、E 左A-模、F 为 (A, B) 双模且 G 右B-模；考虑典范同态 (代数, 章 II, § 4, 习题 5)

is⁡:Hom⁡B(F,G)⊗AE→Hom⁡B(Hom⁡A(E,F),G) \operatorname{is}: \operatorname{Hom}_B(F, G) \otimes_A E \to \operatorname{Hom}_B(\operatorname{Hom}_A(E, F), G)

这样对于所有 x∈E,u∈Hom⁡B(F,G),v∈Hom⁡A(E,F)x \in E, u \in \operatorname{Hom}_B(F, G), v \in \operatorname{Hom}_A(E, F) 都有(σ(u⊗x))(v)=u(v(x))(\sigma(u \otimes x))(v) = u(v(x))。

证明，如果 G 是单射B-模 (代数, 章 II, § 2, 习题 11) 并且 E 有限呈现，则 是双射。 （首先考虑 E 是自由且有限生成的情况。）

解答

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