习题 15, § 2

令$X$为完全正则拓扑空间，$\beta X$为其Stone-Čech紧致化（一般拓扑、章IX, § 1、习题7）。对于所有$x \in X$，让$\mathfrak{g}(x)$表示那些$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的环$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$由……组成的最大理想，使得$x$属于到$X$的子集合$\overline{f}(0)$的闭包（一般拓扑、章、X, § 4、习题 15)；令$\mathfrak{u}(x)$表示那些$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的理想由……组成，使得$\overline{f}(0)$是$X$中$x$的邻域在$X$上的踪迹； $\mathfrak{u}(x)$ 等于它的根式。

如果对于 $a$ 上的所有 $f \geq 0$，每个 $g$ 使得 $0 \leq g \leq f$（或 $|g| \leq f$）属于到 $a$，则 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 的理想 $a$ 称为孤立（或绝对孤立）。 （cf.代数、章IV, § 1、习题4）；那么 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ 拥有与其环结构兼容的阶结构 （分别是晶格阶结构），并且元素 $\geq 0$ 是类 mod。 $a$ 共元素 $\geq 0$ 至 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$（前述）。

(a) 证明$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的理想$a$等于其根式，是绝对孤立的（如果$f \in a$和$|g| \leq |f|$，当$f(x) = 0$时考虑函数等于0，当$f(x) \neq 0$时考虑$(g(x))^2/f(x)$）。在这种情况下，要使 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$ 全序，$a$ 是素数是充分必要的；然后，$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$的素理想的集合通过包含完全排序。

(b) 对于$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$的孤立理想$a$使得$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})/a$是全序的，$a$必须包含在单个最大理想$\mathfrak{g}(x)$中，然后$a$必然包含包含$\mathfrak{u}(x)$；只要 $a$ 包含是素理想，然后 $a$ 是绝对孤立的（注关系 $fg = 0$ 则意味着 $f \in a$ 或 $g \in a$）。

(c) 取$X = \mathbf{R}$、$x = 0$；表明函数$t \mapsto |t|$生成的主理想包含在$\mathfrak{g}(0)$和包含$\mathfrak{u}(0)$中但不是孤立的； 恒等映射$t \mapsto t$产生的主理想包含在$\mathfrak{g}(0)$、包含于$\mathfrak{u}(0)$中，并且是孤立的，但不是绝对孤立的。

(d) 证明，如果$p$和$q$是$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$中的两个素理想，则$pq = p \cap q$（尤其是$p^2 = p$）和$p + q$是素数或等于$\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$。 （如果$p + q \neq \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，观察$p + q$是绝对孤立的并且等于它的根式并使用（a）。）

(e) 为了使$\mathfrak{u}(x)$是素数，对于每个函数$f \in \mathscr{C}(X; \mathbf{R})$，两个集合$\overline{f^1}([0, +\infty[)$、$\overline{f^1}([-\infty, 0])$之一在$\beta X$中的闭包是$x$的邻域是必要且充分的。推导出例，其中 $\mathfrak{u}(x)$ 是质数而非极大值（考虑与非平凡超滤器相关的拓扑空间；cf. 一般拓扑、章 I, § 6, no. 5）。

(f) 假设$x \in X$。对于$\mathscr{U}(x) = \mathfrak{F}(x)$，$X$中$x$邻域的每个可数交是$X$中$x$邻域。 （参见一般拓扑，章I, § 7，习题7。）

(g) 表明 $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ 与分数和 $\mathscr{C}^\infty(X; \mathbf{R})$ 的总环是规范一致的。