习题 17, § 2

A-模 E 上的线性拓扑 $\mathscr{T}$ 称为最小，如果它是 Hausdorff 并且不存在严格比 $\mathscr{T}$ 更粗糙的豪斯多夫线性拓扑。

(a) 为了使 E 上的豪斯多夫线性拓扑$\mathscr{T}$最小，E上的每个滤波器基$\mathscr{B}$，仿射线性簇的由……组成并且具有单个簇点，收敛到该点是必要且充分的。 （要看出条件是必要的，请观察到，当M运行$\mathscr{B}$和V时，子模的0由……组成的邻域的基本系统，$M + V$形式具有相同的过滤器基将点聚类为$\mathscr{B}$。要看到条件就足够了，注开放子模的过滤器基由……组成，其交减少到0，是0的邻域的基本系统在 Hausdorff 线性拓扑中，比 $\mathscr{T}$ 更粗糙。）

(b) 为了使 A-模 E 上的离散拓扑最小，E 为阿廷的是充分必要的。

(c) 如果 $\mathscr{T}$ 最小，则由 $\mathscr{T}$ 在 E 的任何闭子模上引起的拓扑最小。