习题 22, § 2

(a) 设$A$为局部环，$m$为其最大理想值。证明，如果对于 $A$ 上的线性拓扑 $\mathscr{T}$，$A$ 是严格线性紧致的，$\mathscr{T}$ 比$m$-adic 拓扑更粗糙。

(b) 令$A$为交换环，且$m$为$A$的理想值。为了使 $A$ 与 $m$-adic 拓扑严格线性紧致，它是 Hausdorff 且与此拓扑完成是必要且充分的，$A/m$ 是阿廷环和 $m/m^2$ 以及 $(A/m)$ 的模有限长度（在其他字中，$A$是完整的诺特半局部环）*。

(c) 令 $I$ 为不定族 $(X_i)_{i \in I}$ 中形式幂级数的无限索引集合、$K$ 有限域和 $A = K[[X_i]]_{i \in I}$ 代数 (代数， 章IV, § 5、习题1)； $A$ 是局部环。由于向量空间大于$K$，$A$可以识别为乘积空间$K^{N(I)}$；如果给$K$离散的拓扑和$A$乘积拓扑$\mathscr{T}$，则表明$\mathscr{T}$是环$A$上的线性拓扑，其中$A$是严格的线性紧凑；如果$m$是$A$的最大理想，则通过如习题12(c)中的论证来证明$A$与$m$-adic拓扑不完整。