习题 5, § 3

令 $A$ 为交换律诺特环，$m$ 为雅各布森根式。 (a) 为了使 $A$ 与线性拓扑 $\mathscr{T}$ (§ 2, 习题 19) 严格线性紧致，$A$ 是半局部的并且与$m$-adic 拓扑完全是必要且充分的；那么$\mathscr{T}$必然与后者的拓扑相同。 （使用§ 2、习题 21 (d) 和 22 (a) 以及§ 3, no. 3、命题 6。） (b) 为了使$A$与线性拓扑$\mathscr{T}$线性紧致，$A$是半局部的并且与$m$-进数拓扑完全，并且$\mathscr{T}$比后者拓扑更更细是必要且充分的。 （要看出它是必要的，约化首先考虑$A$是局部环，利用习题§ 2的21（d）的情况。首先考虑$\mathscr{T}$是离散的拓扑和注，然后$A$是与 $m$-adic 拓扑线性紧凑 在一般情况下，约化到 $\mathscr{T}$ 是最小拓扑 (§ 2, 习题 18 (c)) 的情况，表明 $A$ 是严格线性紧凑的，并使用准则 (y) § 2、习题 19 (a) 和习题 18 (b) § 2。）