习题 23, § 2

设 A 为环。如果 A-模 $E$ 被称为 Laskerian，如果它是有限生成的并且如果 E 的每个子模在 E 中都有初等分解。 (a) 要使有限生成A-模 E 成为拉斯克式，满足以下两个公理是充分必要的： (LA,) 对于 E 的每个子模 F 和 A 的每个素理想 p，对于某些 $a \notin p$，F 相对于 E 中 p 的饱和度为形式 $F : (a)$。 (LA,) 对于 E 的每个子模 F，每个递减序列 $(\mathrm{sat}_{S_n}(F))$（其中 $S_n$ 是 $\mathbf{A}$ 的乘法子集的任意递减序列）都是平稳的。 （为了证明条件是充分的，首先使用 (LA,) 和习题 18 (a) 和 22 (a) 证明，对于 E 的每个子模 F，都存在 E 的子模 Q，它对于某个理想 $p \supset F : E$ 和子模 $G = F + aE$ 是主要的，其中$a \notin p$，使得$F = Q \cap G$。然后通过*归谬法*论证：证明存在E的$p_n$-初级子模和严格递增的序列$(G_n)$的无限序列$(Q_n)$ E 的子模，如果我们写 $H_n = Q_1 \cap Q_2 \cap \ldots \cap Q_n$： (1) $F = H_n \cap G_n$； (2) $G_n$ 是子模 G 包含 $G_{n-1}$ 中最大的，使得

F = H_n \cap G； (3) 存在$a, \notin p_n$使得$a_n E \subset G_n$。然后证明，如果 $S_n = \bigcap_{1 \leq i \leq n} (A - p_i)$，S 满足 $G_n : E$ 并推出 $\operatorname{sat}_{S_n}(F) = H_n$。 结论借助 (LA_{II})。）

(b) Give an example of a ring A such that the A-module A does not satisfy (LA,) but where every ideal $a \subset A$ is irreducible and the set of saturations $\operatorname{sat}_S(a)$ for all the multiplicative subsets S of A is finite (cf. Exercise 19).*

(c) 令 K 为 K 上形式幂级数的域、$B = K[[X]]$ 代数，并且 m 为形式幂级数的 B 由……组成的最大理想，没有常数项。 在乘积代数$B^\mathbf{N}$中，考虑由1和理想的$n = m^{(\mathbf{N})}$生成的子代数A。 证明 A 中唯一不同于 n 的素理想是 n 中除 1 之外的所有分量理想中的理想直和； A 的每一个素理想严格递增的序列至多有两个元素。 Let $a \neq A$ be an ideal of A and let S be a multiplicative subset of A not meeting a; if a_n (resp. S_n) is the projection of a (resp. S) onto the n-th factor B, of $B^\mathbf{N}$, show that $\operatorname{sat}_S(a)$ is the direct sum of the ideals $\operatorname{sat}_{S_n}(a_n)$ (observe that, if $s \in S, s_n \in S,$ is the n-th projection of s and $x_n \in \operatorname{sat}_{S_n}(a_n)$ is such that $s_n x_n \in a,$ then $s^2 x_n \in a$). 推断 A 满足公理 (LA$_I$) 但不满足 (LA$_{II}$)（使用习题 20 (b)）。

(d) 证明，如果 A-模 E 满足公理 (LA$_I$)，则 E 的每个子模都是 E 中主子模族（有限或其他）的交（如 (a) 中论证，通过超限归纳）。

(e) 令 E 为有限生成A-模且 $E' \subset E$ 是有限生成的子模。对于 E 是拉斯克式的，E' 和 $E/E'$ 是充分必要的。特别是，如果 A 是 Laskerian 环，则每个有限生成A-模都是 Laskerian。如果 E 是拉斯克 A-模，则对于 A 的每个乘法子集 S，$S^{-1}E$ 是拉斯克 $S^{-1}A$ 模。