我们知道$A$可以给出与其群结构兼容的总共阶结构（代数，章II, § 11, no. 4，引理2）。令$p$为与$M$、湮没子相关的元素$x \in M$的素理想，令$(x_i)_{i \in \Delta}$为$x$的齐次分量族；设$i(1) < i(2) < \cdots < i(r)$为$i$的值，其中$x_i \neq 0$。考虑元素 $a \in p$ 并令 $(a_i)_{i \in \Delta}$ 为其同构成分族；我们将证明$a, \in p$对于所有$i \in A$，这将表明$p$是一个分级理想。

我们通过归纳对指标$i$的数进行论证，使得$a, \neq 0$。如果这个数是0，我们的断言是显而易见的；如果不是，则令$m$为指标$i$的最大的，其中$a, \neq 0$；如果我们证明$a, \in p$，将归纳假设应用到$a - a,$就会得出结论。现在，$ax = 0$；对于所有$j \in A$，利用$ax$的次数$m + j$的齐次分量为0，我们得到

我们结论认为$a_m x_j$是指标$i > j$的$x_i$中的线性组合。特别是$a_m x_{i(r)} = 0$、从而，通过在$n < r$、$a_m^{r-n+1} x_{i(n)} = 0$上下降归纳。然后 $a_m^r x = 0$、从而 $a_m^r \in p$，并且由于 $p$ 是质数，$a, \in p$。

现在我们证明 $p$ 是 $M$ 的齐次元素的湮没子。让我们把$1 \leq n \leq r$写成$b_n = \operatorname{Ann}(x_{i(n)})$。对于$p$的每个齐次元素$b$和所有$n$，次数$i(n) + \deg(b)$的$bx$的齐次分量是$bx_{i(n)}$，因此$bx_{i(n)} = 0$和$b \in 6$；因为$p$是由其同构元素、$p \subset 6$生成的。另一方面，显然$\bigcap_{n=1}^r 6_n \subset \operatorname{Ann}(x) = p$；由于$p$是素数，因此存在$n$使得$b_n \subset p$（章11，§ 1, no. 1，命题1），从而$b_n = P = \operatorname{Ann}(x_{i(n)})$，从而完成证明。

With the notation of the proof of Proposition 1, consider the homomorphism obtained, by taking quotients, from the homomorphism $a \mapsto ax_{i(n)}$ of $A$ to $M$; the latter is a graded homomorphism of degree $i(n)$ and hence it gives on taking quotients a graded bijective homomorphism of degree $i(n)$ of $A/p$ onto a graded submodule of $M$.

回溯§ 1, no. 4、定理 1 的论证就足够了，此时$\mathscr{G}$是$M$的分级子模的集合，其中合成列具有叙述的性质；我们利用得出命题 1 的推论。

只要证明 $\operatorname{Ass}(M) = \{p\}$ (§ 2, no. 1, 命题 1) 就足够了。设$q$为与$M$相关的素理想；它是一个分级理想，它是湮没子的齐次元素 $x \neq 0$ 的 $M$（no. 1，命题 1）。对于$q$、$ax = 0$的每个齐次元素$a$，因此$M$上比率$a$的位似不是单射的，从而$a \in p$。相反，令 $b$ 为 $p$ 的齐次元素；存在整数$n > 0$使得$b^n x = 0$，从而$b^n \in \operatorname{Ann}(x) = q$，并且由于$q$是质数，因此$b \in q$。由于$p$和$q$是由它们各自的齐次元素、$p = q$生成的，这就证明了$\operatorname{Ass}(M) \subset \{p\}$。如$M \neq \{0\}, \operatorname{Ass}(M) \# \varnothing$（§ 1, no. 1，推论1至命题2），从而$\operatorname{Ass}(M) = \{p\}$。

我们知道（*loc.cit.*）$p'$（或$N'$）的齐次元素只是$p$（或$N$）的齐次元素。令 $a$ 为 $p$ 的齐次元素；如果$x$是$M$的齐次元素，则存在整数$n > 0$使得$a^n x \in N$；由于 $a^n x$ 是齐次的，$a^n x \in N'$；因为每个$y \in M$都是齐次元素的有限数的直和，我们结论存在整数$q > 0$使得$a^q y \in N'$，因此位似与比率$a$ $M/N'$ 几乎是幂零的。

现在考虑 $A - p'$ 的齐次元素 $b$；那么 $b \notin p$ 因为 $b$ 是齐次的。令$x$ 为$M$ 的元素，使得$bx \in N'$ 且令$(x_i)_{i \in \Delta}$ 为$x$ 的齐次分量族。由于 $N'$ 已分级，因此 $i$ 为 $bx_i \in N'$，因此为 $bx_i \in N$，并且，作为 $b \notin p$，我们对 $x_i \in N$ 进行结论；由于 $x_i$ 是齐次的，$x_i \in N'$、从而 $x \in N'$ 和位似以及 $M/N'$ 上的比率 $b$ 是单射的。 命题 4 然后将命题 3 应用于$p'$ 和$M/N'$。

(i) 令$Q'_i$为最大的，对$Q_i$中包含的$M$进行分级子模。那么$Q'_i$是主要的，$N = \bigcap_{i \in I} Q'_i$。

(ii) 如果初等分解 $N = \bigcap_{i \in I} Q_i$ 减少，初等分解 $N = \bigcap_{i \in I} Q'_i$ 也减少，并且对于所有 $i \in I$，素理想相应的到 $Q_i$ 和 $Q'_i$ 相等。

(iii) 如果$Q_i$对应到素理想$p_i$，即$\operatorname{Ass}(M/N)$的最小元素，则$Q_i$是$M$的分级子模。

我们已经看到(no. 2, 命题 4)，$Q'_i$相对于$M$和$N \subset Q'' \subset Q_i$是主要的，这证明了(i)。 no. 2的命题 4还表明，素理想$p'_i$相应的至$Q'_i$是素理想$p_i$相应的至$Q_i$中包含的最大的分级理想。如果分解 $N = \bigcap_{i \in I} Q_i$ 减少，$p_i \in \operatorname{Ass}(M/N)$ 对于所有 $i$ (§ 2, no. 3, 命题 4)，因此 $p_i$ 是分级理想 (no. 1, 命题 1)，因此 $p'_i = p_i$；然后$\operatorname{Ass}(M/N) = \bigcup_{i \in I} \{p'_i\}$(§ 2, no. 3,命题4)，证明分解$N = \bigcap_{i \in I} Q'_i$减少了(§ 2, no. 3,命题4)。最后，如果$p_i$是$\operatorname{Ass}(M/N)$的最小元素，则$p'_i = p_i$自$p_i$起被评分（no. 1，命题1），从而$Q'_i = Q_i$凭借§ 2, no. 3， 命题5.