习题 2, § 3

令$\Gamma$为全序群和$k$域。

(a) 令 $A, B$ 为 $\Gamma$ 中的两个子集，通过归纳排序良好排序；证明集合 $A + B$ 是良序的，并且对于所有 $y \in A + B$、有序对 $(a, \beta) \in A \times B$ 的集合使得 $a + \beta = y$ 是有限的。 （为了证明第一个断言，通过反证法论证，否则可以将$A + B$的元素定义严格递减序列$(y_i)$使得$\gamma_n = a_n + \beta_n$，其中$a_n \in A, \beta_n \in B$， 序列$(a_n)$为严格递增的，序列$(\beta_n)$为严格递减；利用得出集合理论，章111，§ 4，习题3。）

(b) 设$S(\Gamma, k)$为$x = (x_\alpha)_{\alpha \in \Gamma}$族的集合，使得$x_\alpha \in k$适用于所有$\alpha \in \Gamma$和$a$的集合，其中$x_\alpha \neq 0$是$\Gamma$的井有序子集。证明$S(\Gamma, k)$是$k^\Gamma$的加法子群；此外，如果$x = (x_\alpha), y = (y_\alpha)$是$S(\Gamma, k)$中的两个元素，对于有序对$(a, \beta)$，$a + \beta$中的集合$C$，使得$x_\alpha \neq 0$和$y_\alpha \neq 0$按(a)良好排序，并且，对于所有$y \in C$、元素 $z_y = \sum_{\alpha + \beta = y} x_\alpha y_\beta$ 定义于$k$；如果我们将 $a \notin C$ 写为 $z_\gamma = 0$，则将元素 $z = (z_\alpha) \in k^\Gamma$ 属于写为 $S(\Gamma, k)$；用$xy$表示。证明合成和加法的律在乘积群$k^\Gamma$集合$S(\Gamma, k)$是域；此外，对于$S(\Gamma, k)$的所有$x = (x_\alpha) \neq 0$，令$\lambda$是$a \in \Gamma$中最小的，使得$x_\alpha \neq 0$；如果我们写 $v(x) = \lambda$（和 $v(0) = +\infty$），则表明 $v$ 是对 $S(\Gamma, k)$ 的评估，其中 $k$ 为剩余类域，$\Gamma$ 为值群。 $v$被称为域$S(\Gamma, k)$的规范估值。 域 $k$ 与子域或 $S(\Gamma, k)$ 被规范地识别。对于所有$a \in \Gamma$，令$u_a$表示元素$(x_\lambda)_{\lambda \in \Gamma}$，使得$x_\alpha = 1, x_\lambda = 0$代表$\lambda \neq a$；对于所有非零$z \in S(\Gamma, k)$，则存在唯一的有序对$(t, a) \in k \times \Gamma$，使得$v(z) = \alpha$和$v(z - tu_a) > a$。 $tu_a$称为$z$的显性项。