习题 7, § 4

如果 A 不是域并且 A 不存在不同于 (0) 的素理想和 A 的最大理想 m，则称局部整环 A 为 维数 1。对于 A 的每个理想 $a$，令 A： $a$ 表示 A 的分数的域的子 A 模，它是A 中 $a$ 的转运蛋白（始终为包含 A）。下面假设 A 为维数 1。

(a) 证明，如果 A 是强拉斯克函数 (章 IV, § 2, 习题 28)，则$A : m \neq A$。 （在相反的情况下，对于每个整数$r > 0$，注即$A : m^r = A$；另一方面，m中包含的A的每个理想$\neq 0$都是m主理想，因此特别是每个主要理想$Ax \subset m$（其中$x \neq 0$）;注最后对于$m^h \neq m^k$ $h \# k$（章IV, § 2，习题29（d））。

(b) 证明对于维数 1 的强拉斯克局部整环 A，以下属性是等效的：

(α) A 是完全积分闭的。 (β) 极大理想 m 为主。

(γ) 每个m-主理想都是形式$m^k$。 (δ) 理想的$m$是可逆的(章II, § 5, no. 6)，相当于$m \cdot (A : m) = A$。 (ε) $A$ 是离散估值环。 （为了证明 (α) 蕴含 (δ)，请使用 (a) 并观察如果 $m \cdot (A : m)^k = m$ 对于所有 $k > 0$，$A$ 不是完全积分封闭的 (cf. 章 VII, § 1，习题 4)。 为了看出(6)蕴涵(y)，注对于$m$中包含的每个理想$a \neq 0$，我们可以写成$a = ma_1$，其中$a_1 \neq 0$并使用章IV, § 2，习题29(d)。 Finally, to see that (y) implies (β), observe that $m \neq m^2$ and that (γ) implies that $m/m^2$ is a 1-dimensional vector $(A/m)$-space.) (c) Show, in the notation of Chapter III, § 3, Exercise 15 (b), that the local ring $A$ is a Noetherian integral domain of dimension 1 but is not integrally closed. (d) Let $K$ be an algebraically closed field and $A$ the subring of the field $K(X, Y)$ of rational functions in two indeterminates over $K$ consisting of the elements $f \in K(X, Y)$ such that 0 is substitutable for $X$ in $f$ and $f(0, Y)$ belongs to $K$. 证明 $A$ 是维数 1 的强拉斯克积分闭局部整环，但不是完全积分闭。 （如果$B$是多项式环$K[X, Y]$，$p$$B$的素理想$BX$，注$A$是$B_p$的子环等于$K + pB_p$。）（*）