习题 5, § 5

(a) 设 K 为域，$v$ K 的估值，$\Gamma$ 阶群 $v$。为了使 K 是线性紧致的 (章 III, § 2, 习题 15) 且拓扑 $\mathscr{T}_v$，有必要且充分的是，对于 $\Gamma$ 的每个良序子集 B 和 K 的元素的每个族$(a_\beta)_{\beta \in B}$，使得$A < \mu < v$,

对于指标$A, \mu$的每一个有序对，存在元素$a \in K$使得$v(a - a_\lambda) = v(a_\lambda - a)$使得$\mu > A$。 （使用*集合理论*的习题 4，

章111、§ 2）。如果是这样，则估值 v 的环 A 也与离散拓扑线性紧凑。

(b) 证明§ 3, 习题 2 中定义的域 S(\Gamma, k) = K 与$\mathscr{T}_v$ 线性紧。取\Gamma为有理数的全序群\mathbf{Q}，并考虑$x = (x_\alpha)$的K由……组成的子环K_0，使得$a \in \mathbf{Q}$的集合，其中$x, \# 0$是有限的或为严格递增的序列点集合趋于 $+\infty$。证明 K_0 是域，相对于由 K 上的规范评估 v 引发的评估 $v_0$ 是完整的，并且 $v_0$ 具有与 v 相同的值群和剩余类域，但 K_0 不是线性紧凑的 (cf. § 10， 习题2)。